VI. .r, = o,8 et x

Xi = 0,87074 , x e = 0,8707656

y, = 0,1007147 , y, --= 0,0060946, fi = o, 000204 1 ,

VII. Le calcul de cette dernière racine, comprise entre 0,9 et 1, présente quelques difficultés, parce que / varie moins dans cet intervalle que dans ceux des 'autres racines. Dans cette circonstance, le principe de la méthode conduit à faire des substitutions également espacées. On obtiendra donc les résultats suivants :

Digitiz

on doit poser

^6 CHAPITRK OKL'XItMK.

Ces «leux dernières valeurs donnent

et enfin ,

2!î. Les calculs précédents ont été faits par M. Koralek ; on peut les vérifier au moyen des relations connues entre les racines d’une équation et les coefficients de cette équation , c’est-à-dire que la somme des racines est égale et de signe contraire au coefficient — du second terme de l’équation ; que la somme de

leurs produits deux à deux est égale au coefficient — du troisième, et ainsi de suite; enfin, que le produit de ces racinès est numériquement égal au dernier terme — > mais de signe

Juj2 ,

contraire, parce que le degré de l’équation est impair.

Toutes ces vérifications se font avec une grande exactitude.

Du reste, quand on s’aperçoit que x — o ,5 est racine exacte de l’équation , on peut diviser le premier membre par 2 x — 1, ce qui donne pour quotient exact

1716.K* — 5 l. 48 x s -t- Sç ;?. x ' — 2.9042-'-+- 648 .r 1 — 54 x. -i-i=o, équation qui a maintenant pour racines les quantités déjà connues

Digitiiedby Coo gld

approximations successives.* fa

En comparant ces valeurs, on remarque les relations suivantes:

X, -}- X, — X ; Xo — X3 X5 := I,.

Si l’on n’avait qu’nne-seule de ces relations, on pourrait s’cn servir pour aliaisser le degré dé l’équation proposée.

effet, l’égalité .1» -+- x' = 1, établie entre deux racines, permet de substituer x’ — 1 — x dans l’équation donnée f{. c) = o. La substitution se fera sans peine au moyen de la formule

c’est-à-dire en remplaçant dans les dérivées successives de f(x), la variable ,r par h ~ 1 ; seulement il faudra remplacer x par -— x : on obtiendra donc, - pour équation transformée, une nouvelle équation en .r, qui aura une racine commune avec la proposée, à cause de la relation x -sfc x' = 1 , et les deux fonctions de x auront un plus-grand commun diviseur qui permettra -d’abaisser le degré de l’équation donnée.

Mais, dans l’exemple que nous considérons, le nombre même et la similitude des trois relations indiquées empêcheront d’obtenir cette simplification; car, les racines de l'équation proposée étant

les racines correspondantes de la transformée seront

de sorte que la somme de deux racines correspondantes soit égale à l’unité, comme cela doit être; seulement, cette. relation existant pour tous les couples de racines, on voit que l’équation transformée sera identique avec l’cquation proposée du sixième degré : ce calcul n’avancerait donc à rien pour obtenir les racines.

Cependant on peut utiliser les relations indiquées, en posant, dans l’équation du^septième degré,

ce qui donnera

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puisque

En effet, on trouve

343ar— i38 —

Divisant par t, et posant < ! = z, il reste

Cette simplification pouvait être prévue, car f = x — et, soit X, une des racines de l’équation proposée, d’où l’on tire

on sait que

par conséquent ,

Ainsi les racines de la transformée , après qu’on a divisé part, sont égales et de signe contraire, ce qui réduit l’équation au troisième degré.

F.n commençant itnp recherche de cette nature, on n’aperçoit pas d’abord les relations qui peuvent exister entre les racines; mais s’il s’en présente qui n’aient pas été prévues d’avance, on en profite pour abaisser le degré de l'équation , vérifier les résultats déjà obtenus et continuer le calcul avec plus d’assurance et de facilité. - ' > . ,

FORMULES APPROXIMATIVES

2fi. En suivant toujours les principes établis au commencement de cet ouvrage, nous allons passer en revue plusieurs des formules les plus importantes, et observer les modifications qu’elles subissent quand on suppose qu’une ou plusieurs des quantités qu’elles contiennent sont aîsez petites pour qu’on puisse négliger leurs puissances supérieures.

Parmi tous les développements en série, le plus connu est le binôme de Newton, qui permet d’écrire immédiatement une puissance quelconque d'un binôme.

On a la formule ■

m ( ni — i )