CC' + 4DD'H-BE

et celle qui vient à la suite s'exprime par

j(EK'-+-4Ff'-t-GG').

En ajoutant, on-mtra l’aire totale

’.S = ^AA' 4- 2(CC' 4-EK') 4- 4 ( BB' -f DD' 4- FF ) 4- KE'J. '

FORMULES APPROXIMATIVES. 8ç)

En indiquant par "Zjr p la somme des ordonnées paires et par la somme des ordonnées impaires, la formule de Simpson est donc

+ /, S -t-Ej

et s’exprime par conséquent de la manière suivante :

Faites la somme des ordonnées extrêmes , ajoutez deux fois la somme des ordonnées paires et quatre fois ta somme des ordonnées impaires ; enfin multipliez le tout par le tiers de la division des abscisses. " • ' .

Cette formule, qui est généralement satisfaisante, donne cependant des résultats d’une exactitude insuffisante pour les portions de courbe dont les éléments sont peu inclinés par rapport aux . ordonnées, en même temps que la. courbure est assez prononcée; c’est ce qui a lieu aux environs du sommet de la parabole, quand cette courbé est dans sa position ordinaire.

La formule de M. Poncelet consiste en principe à prendre la moyenne des surfaces des polygones inscrit et circonscrit à la courbe. Èn admettant encore que le nombre des divisions soit pair et égal à i n [fig. 5), voici la formule à laquelle il est conduit : •

On voit que y, et y,„ , sont les ordonnées voisines des ordonnées ' extrêmes. ’

Dans le cas défavorable de la parabole dont nous avons parle, cette formule donne, près du sommet, plus d’approximation que celle de Simpson, mais cette valeur est un peu trop faible pour les courbes convexes à l’extériénr. -

Enfin, si Je nombre des divisions est impair, soity, l’ordonnée

située iï égale distance de e et de y, , on pose encore la formule

On Conçoit que ces formules, malgré les raisonnements par les-

gO . CHAPITRE TROISIÈME.

quels on cherche h en justifier l’usage, ont toujours quelque chose d’arbitraire et d'empirique; il n’en existe pas une qui ait un avantage constant sur toutes les autres dans toutes les circon- •" stances, mais elles n’en sont pas moins utiles dans une foule de recherches de géométrie et de mécanique.

On trouvera d’autres détails et de nouvelles formules de quadratures dans un article de M. Piobert ipséré dans le tome XIII des Nouvelles Annales de Mathématiques.