CHAPITRE IV

40. Dans le chapitre précédent, nous avons passé en revue les formules et les séries les plus importantes; nous allons maintenant en faire l’application numérique et indiquer, par exemple, comment les logarithmes des nombres et des lignes trigonométriques ont pu être calculés d’une manière praticable^

Nous commencerons par la base e des logarithmes hyperboliques. Pour cela , reprenons la série

D’après le principe du n° 9, on reconnaîtra sans peine que cette série est convergente; mais, de plus, nous verrons bientôt qu’il est facile de calculer l’erreur que l’on commet quand on s’arrête à un terme quelconque.

Remarquons d’abord que e n’est pas un nombre entier; car on a évidemment

Or cette dernière série est une progression géométrique qui a pour limite l’unitc. On a donc

d’où l’on voit que c. est un nombre compris entre 2 et 3.

Je dis, en second lieu, qu’aucun nombre fractionnaire exact 11 e peut exprimer la valeur de e.

En effet, soit, s’il est possible, c = — » m étant un nombre

entier ainsi que n; et poussons la série jusqu’à ce qu’on parvienne

aux termes dont les dénominateurs renferment le facteur n.. On aurait alors

m ît i

— =2H ri s H ~i~r *+■•••

d’où, multipliant les deux termes par 2. 3 . 4 i • • «, *1 reste

n- t-i (/î +i)(n + 2) (/! -Ht) -H 2)(« -+- 3 )

Comme le premier membre de cette égalité est un nombre entier, ainsique la première partie du second, il faut que la deuxième partie de ce second membre soit aussi un nombre entier. Or cela est impossible , car cette deuxième partie

n -t-i (/? + 1) (« -+- 2) (n -f-i) (n + 2) (« -h 3 ) a évidemment une valeur moindre que la somme de la progres-

dont la limité est — n

Donc enfin l’égalité m

est impossible, et 4 c nombre c est incommensurable, comme nous l’avions annoncé.

Le calcul précédent sert aussi à estimer la limite de l’erreur que l’on commet en prenant pour valeur de c les n premiers termes de la série. *

En effet, cette erreur, que nous appellerons E, est égale à

APPLICATIONS MATHEMATIQUES. • ' • g3

c'est-à-dire que l’on a

F 1 I ("+Ô + (" +.ij(« + 2 ) I

mais nous avons vit que la série entre parenthèses est moindre

que -> bn a donc n

Le calcul se fera donc de ta manière suivante :

i.2.3.4-5.6.7.8.g.io