to. 11 . 12 , i
t .2.3.4 546-7 8..9-IO. 11 . 1 2. 1 3
On prend le tiers de ^ = o, 5 , le quart du résultat, et ainsi de
suite. Nous avons calculé dix décimales , mais nous devons regarder la dernière comme incertaine , et nous posons
La disposition du calcul fait voir qu’il n’est pas toujours nécessaire de déterminer théoriquement la limite de l’erreur dans une série convergente , et que l’on reconnaît combien de termes il faut calculer pour arriver à l’approximation que l’on désire, en remarquant quel est le terme qui ne donne plus de décimales de cette espèce; c’est à celui-ci qu’il faut s’arrêter (*).
VI. Pour calculer les logarithmes des nombres, nous avons donné au n° 28 les formules
et
Celte seconde formule est souvent employée, mais comme elle n’est convergente que pour x 1, il faut la modifier en posant
n étant nécessairement positif , ce qui donne
et l’on trouve
on a donc la différence entre les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs n et n 4- 1 .
Mais nous allons faire usage de la première formule dans la-
(*) Ou comprend qu’il ne faut pas sc lier complètement à celte observation. -
quelle les termes sont alternativement positifs et négatifs, et nous
poserons
ce qui donnera
* ( 1 4- « ) ‘ — lu — r 4- = — r — y — : 4- = — - — ....
Si nous posions
il en résulterait
on trouverait de même le logarithme de 3 au moyen de celui de 2 , et ainsi de suite; mais les premières séries seraient très-peu convergentes. Voici par quel artifice on peut lever cette difficulté. Considérons les valeurs des trois séries :
Cela revient à poser les trois égalités a = 2 1 3 — 3 1 2 ,
d’où l’on tire, en éliminant, •
13= ita — 3£ — 67 ,
Nous remarquerons (jue le calcul des quantités « , £ et 7 sera facile, car tout dépendra des puissances de g qui se trouveront,
en prenant toujours !e huitième du résultat précédent •
•|co
■ tP =
ÎP ~
On formera ensuite, en prenant ie tiers, le cinquième, etc.,
les fractions • • • que l’on ajoutera avec ^ : de
i . tv* a . o o
même on prendra la moitié de ^ j le quart de ^ et ainsi de
suite, et l’on retranchera la somme de ccs quantités de la somme précédente , ce qui donnera a. Le meme calcul donnera en même temps les fractions qui composent y, et même celles qui compo- ;
sent p ; car les puissances de rr aideront aussi à trouver celles de
» puisque 9.4 = 8. 3.
Ayant ainsi trouvé 1 a et 1 5 , on les ajoutera , ce, qui donnera ■1 IO = 2 , 3o2585oç)2C).
APPLICATIONS MATHEMATIQUES. Cf")
Par conséquent, ainsi qu’on l’a vu au n" 29 , en divisant l’unité 'par I 10 , on trouvera le module
par lequel il faut multiplier les logarithmes hyperboliques que nous avons calculés jusqu’à présent pour obtenir les logarithmes vulgaires; on obtiendra
en admettant que I 10 soit calculé avec dix décimales.
Nous aurons ensuite
L2 = Rll2, L 3 = M 1 3 , L 5 = M 15 ,
et nous en ferons autant pour tous les logarithmes que donneront les séries.
Le calcul des puissances de g sera encore utile pour la détermination des logarithmes de plusieurs nombres premiers. Ainsi
et les puissances de ~ , que l’on a déjà obtenues , aident à trouver celles de -! ; on voit d’ailleurs que
ce qui détermine 1 7.
On a
et les calculs sont faits d’avance , car 64 = 8 *.
Comme 165 — 1 64 = 1 5 - 4 - 1 i 3 — 6 I 2, on trouve 1 i 3 . De même
et, comme 16= 2.8, on trouve 1 17.
Quant au logarithme île r i, on le trouvera facilement, puisque l’on a
L il = i + M
(JL L
oo 3 .i ooo
Ce qui précède suffit pour faire voir que celte formule peut donner les logarilhmes avec des séries très-convergentes. On sait , du reste, qu’il sera seulement nécessaire de tronver les logarithmes des nombres premiers ; cependant il sera bon , comme vérification , de calculer directement ceux de quelques nombres multiples.
Quand on veut obtenir les logarithmes avec sept décimales , il est bon d’en calculer dix : ce nombre serait plus que suffisant pour une seule opération , mais les erreurs peuvent s’accumuler, parce que les logarithmes déjà trouvés servent à en déterminer d’autres.
48 . Ces operations, et beaucoup d’autres semblables , peuvent être simplifiées par quelques artifices d’arithmétique.
Quand on doit , dans une longue suite de calculs , avoir un même facteur pour beaucoup de nombres différents , il est avantageux de faire d’avance le produit de ce facteur par les neuf chiffres, ce qui réduira les multiplications à ne plus être que des additions; c'est ce que l’on doit faire pour le module M.
7 M = 3,o4oo6i3733
Cette simplification n’empêche nullement de faire usage de la multiplication abrégée. Cherchons, par exemple, L 3 par le calcul
suivant, 13 étant égal à i ,098612289 :
3 go 865 o 34
Après avoir renversé le multiplicateur 13 , d’après la règle d’Oughtred, il faudra multiplier par 9 seulement la partie du multiplicande qui n’est pas laissée à droite, c’est-à-dire 4 3 4 2 944^> et, pour cela, prendre dans le produit 9M les chiffres qui cor-' respondent à ce multiplicande partiel, ce qui fait 3 , 9 o 865 o 33 «. Cependant il sera généralement utile de forcer le dernier chiffre , s’il y a lieu, comme cela se rencontre ici, puisque le dernier 3 est suivi d’un 7 ; nous prendrons donc 3 , 9 o 865 o 34 : on opérera de même pour les autres chiffres du multiplicateur.
Si l’on doit diviser successivement beaucoup de nombres par le même diviseur, il sera encore avantageux de former les produits de ce diviseur par les neuf chiffres. De cette manière , les multiplications du diviseur par chaque chiffre du quotient seront faites d’avance dans toutes les divisions , et il ne restera plus que des soustractions à effectuer : cela n’empêchera pas non plus d’employer la division abrégée , en se bornant , dans chaque produit partiel , à la partie dont on a besoin pour le moment.
Il est bon aussi , pour faciliter ces soustractions , d'écrire d’avance les neuf produits partiels sur des bandes minces de papier que l’on dispose sous le reste précédent , ce qui permet de voir d’un coup d’reil si le chiffre que l’on vient de mettre au quotient
lOO
r.HAPlTEtfc QUATRIEME.
est trop considérable , et d’écrire imniédiateiuent le nouveau reste qui luj correspond : on divise ainsi par lin nombre quelconque aussi facilement que par un nombre d'un setd chilfre.
Indépendamment de ce procédé, dont l’application n’est véritablement utile que si le même diviseur sert dans beaucoup de divisions, il est une manière très-simple et trop peu connue de diriger le tâtonnement par lequel on détermine chaque quotient partiel.
Soit, par exemple, à diviser 58434 par 7 334 » on est conduit à essayer le quotient 8 ; pour cela , prenons à vue d œil le huitième i/u dividende , et comparons les chiffres, à mesure que nous les . obtenons, avec les chiffres correspondants du diviseur: nous trouverons le huitième de 58 égal à 7 avec le reste 2 , le huitième de 24 égal à 3. Jusque-là les chiffres obtenus sont les mêmes que ceux du diviseur, mais nous trouvons ensuite le huitième de 3 qui est zéro : par conséquent , le huitième (lu dividende sera plus petit que le diviseur , donc le chiffre 8 est trop fort , puisque le diviseur n’est pas contenu huit fois dans le dividende.
' Prenons de meme le septième de ce dividende, on verra dès le premier chilfre que ce septième sera plus grand que le diviseur ; donc 7 sera le chiffre convenable, puisque le diviseur est contenu sept fois dans le dividende. De cette manière, .on n’a pas à écrire ni effacer de chiffres inutiles.
Cette observation, plus importante qu’elle ne le semble peutêtre, est due à M. Binet, frère de l'ancien professeur du Collège de France.
Relativement aux longues additions qui se présentent quelquefois, nous observerons qu’un calculateur, peu confiant dans son habileté, pourra faciliter l’opération en comptant dans chaque colonne combien il y a de 2 , de 3,. . . , de 9 , faisant chaque somme partielle et les additionnant ensuite.
Voici enfin une remarque relative aux nombres approximatifs. Après les décimales connues, celles qui viendraient à la suite sont naturellement remplacées par des zéros; mais, pour avoir une appréciation probable du premier chiffre inconnu, on peut le . remplacer par la moyenne «les dix chiffres depuis o jusqu’à 9 ,
IOI
dont la somme est
= 45 ! cetle moyenne sera donc 4 ,5 :
si l’on en fait autant pour les chiffres suivants, l’évaluation probable de la partie inconnue sera 4999 — 5 , c’est-à-dire une
demi-unité du dernier ordre, comme cela était presque évident. Observons à ce sujet que si l’on fait la somme S des ?.5o décimales que l’on connaît avec certitude pour le nombre n, on trouve S
= 4»5, ce qui doit être à la limite pour un nombre incom-
mensurable ; à moins qu’il n’y ait une loi pour la succession des chiffres, comme dans les périodes.
