TT
Réciproquement, si l’on demande combien un arc de longueur a contient de secondes, nous verrons qu’il en renferme autant que la quantité x s’v trouve contenue de fois.
Posons donc
on voit que ' ou bien
car on sait que
• amriTRr. quatrièvk.
à un cent-millième- près; par conséquent a = 206264,88.
Or il faut diviser a par r ; cela revient donc à multiplier par st : ainsi, le nombre de secondes contenues dans l’arc de longueur a sera
Proposons-nous de chercher la différence des heures observées au meme instant sur un parallèle donné de la terre à deux points situés sur deux méridiens différents.
Pour cela, observons dans la relation précédente que le nombre de secondes contenues dans un arc de longueur donnée diminue quand le rayon augmente. Ainsi, dans un cercle de rayon r on trouve
et si l’on cherche combien il y a de secondes dans 1 kilonfttre du parallèle, il reste
De plus, soit R le rayon de la terre supposée sphérique, on sait que r = R cos> ,
en appelant k la latitude, et par suite
2 Tir = 2 a R. cos \ — 4 ooooooo . cos X.
Multipliant donc haut et bas par 27 r, il vient, à cause de ■nz = 648000 ,
2000.648000 .40000000 rosi
et enfin
io3
COS A
Maintenant, soit t le nombre de secondes d’heure qui s’écoule entre le passage du soleil à chacun des méridiens, le rapport de ces secondes d’heurcaux secondes de degré sera, comme on le suit, représenté par - '
a4* i 3(jo* 1 5
On a donè
ce qui donne
1 5 cos X 2 , 16
COS A
Pour le parallèle de Paris,
ce qui donne
pour la différence des temps sur ce parallèle à t kilomètre de distance.
JîO. Connaissant ainsi, dans un cercle dont le rayon est égal à l’unité, la longueur d’un arc d’un nombre quelconque de secondes, nous calculerons son sinus et son cosinus par les formules connues et toujours convergentes .
•T 3 JC 4
sin .x = x —
cos .r = i 1 — ....
11 sera même plus clair et plus exact de considérer x comme étant, dans un cercle quelconque, le rapport de la longueur de l’arc au rayon du cercle; de même sin a: etcos-r seront les rapports des lignes prises dans ce cercle avec ce même rayon.
De cette façon les lignes trigonométriques ne sont plus que des rapports, ainsi qu’on les considère dans l’analyse.
On déterminera ainsi, en admettant, par exemple, que l’on
parte de l’arc de 10 secondes, le sinus et le cosinus de cet arc : pour connaître ceux des multiples de 10 secondes, on peut employer les formules suivantes, dues à Thomas Simpson :
sin (m 4- j)a = sin mu .1 cosyi — sin(/» — 1 ) a, cos (m 4- 1 } a = cos ma : 2 cos a — cos (m — 1 ) a ,
et qui se déduisent facilement des valeurs connues de sin ( n -+- IA et de cos(n±i), en faisant
i> ts ma.
On pose
n = arc 10",
on Tait successivement
et l’on s’élève ainsi de proche ên proche jusqu’à 45 degrés, ce qui suffit pour tout le quadrant, si l’on a calcule les sinus et les cosinus. En effet,
sin (45 + a ) = cos (45 — a) ,
puisque la somme de ces deux angles fait go°, quel que soit a, De même
cos (45 + «) = sin (45 — a).
Les formules de Thomas Simpson fournissent une application remarquable de ce que nous avons dit au commencement du n° 411 . On déterminera avec plus ou moins de décimales, suivant l'approximation que l’on veut avoir, le sinus et le cosinus de 10 secondes, et l’on fera le produit du facteur commun 2 cos 1 o' par les ucuf chiffres. Ces produits serviront dans toute la série des calculs,
81 . Afin de montrer avec plus de détails quelle peut être l'approximation dans ces calculs et de donner un exemple des grades par lesquels on avait cherché à remplacer les degrés du cercle, nous allons chercher, d’après M. Vincent, les sinus et cosinus relatifs à celte nouvelle division.
Au lieu de diviser le quadrant en 90 degrés, le degré en 60 minutes et la minute en 60 secondes, on l’avait partagé, à l’époque de l’invention du système décimal, en 1 00 grades, le grade en 100 miaules centésimales ou centigrades , et le centigrade en tno secondes centésimales ou (lixmilligi ailes. On voit la différence
qui existe entre les minutes ou les secondes centésimales et les minutes ou les secondes sexagésimales ou ordinaires (*).
Prenons donc pour a, dans les formules de Simpson, la seconde centésimale, c’est-à-dire la millionième partie du quadrant dont la valeur, quand on fait le rayon égal à l’unité, est
=.- 0,000 noi 570 796 326 795.
L’erreur commise en employant cet arc pour son sinus sera moindre, d’après la série connue et la règle du n° 10 , que
(0,00000 16 f- ou ^(0,000000000000000004096), ou encore
c’est-à-dire l’unité décimale du dix huitième ordre. On pourra donc pousser le calcul de « jusqu’à la dix- huitième décimale et considérer le résultat comme représentant jusqu’à cette limite la valeur de sina, ce qui exige l’emploi des douze premières décimales de ir.
Quant à la valeur de cosu, en la supposant égale. à 1 1 on
ne commettra pas d’erreur dans les vingt-quatre premières décimales, car il est facile de voir que - ^ ^ (0,000002)% qui mesure
l’erreur, est moindre que Vunité du vingt-quatrième ordre. Ainsi, les douze décimales de rr, qui en ont donné dix-huit pour sino, en donneront vingt-quatre pour cosn.
On prendra donc, dans les formules de Th. Simpson ,
a — o 8 ,ooot,
c’est-à-dire une seconde centésimale , et l’on fera successivement /« = 1 , m = 2 , . . . , jusqu’à m = 999999,
hypothèse finale qui reproduit le quadrant. En réalité, d’ailleurs, on sait qu’il n’est pas nécessaire de dépasser le demi-quadrant;
( * ) Dans beaucoup d’ol;vrages on laisse au grade le nom de degré, et t’on ludique les degrés, minutes et secondes de ce système, par les mémos signes
mais en admettant même le cas défavorable où l'on icait jusqu'au quadrant entier, nous voulons faire voir que néanmoins, malgré l'accumulation elcs erreurs, on aurait encore douze décimales exactes pour les sinus et cosinus des arcs les plus rapprochés de cette limite extrême.
A cet effet, soit représentée par S la fraction d'unité du dix-huitième ordre dont sin o*,ooo i est en défaut, l’erreur de cos o*,ooo >sera négligée en comparaison, comme étant bien plus faible, puisqu’il a 24 décimales exactes et le sinus 18 seulement.
D’après cela , la limite de l’erreur de sino ç ,ooo2 sera
celle de sin t**,qoo 3 sera
celle de sin o 8 ,ooo4 sera
et généralement la limite de l’erreur de sin (m -+ i).o 8 ,oooi sera ni S. 2 — ( m — 1 )S =.{ ni -f- 1) 5 .
Ainsi l’erreur du sinus, à la limite du quadrant, sera 1 000 000 S ,
ce qui réduira le nombre des décimales exactes de dix-huità douze.
De même, soit e la fraction de l’unité décimale du vingt-quatrième ordre dont cos o 8 , 0001 est en défaut. L’erreur limite de cos o 8 , 0002 sera 4 £ , parce qu’ici les deux facteurs du’ terme
cos o g , 0001 X 2 cos o 8 , 0001
étant comparables, on ne doit plus rien négliger : on voit qu’en effet cette erreur sera double de Celle du carré de ce cosinus. Or, d’après les principes posés dans le premier chapitre, on a
(A + s) ! =: A’ + 2At,
c’est-à- dire que l’erreur de ce carré sera 2 A s ou plutôt 2 e, puisque A est. un cosinus.
De même
•cos 3 a — cos 2/r.a cos a — cos a ;
APPLICATIONS MATHÉMATKiUtS. I 07
mais l’erreur de cos 2 <t . 2 cos'a s’évaluera en posant 2(B -t- 4 «) (A H- s) poitr valeur de ce produit dont l’erreur sera 2 1 A -t- B),
résultat inférieur à 5 t. 2, puisque A et B sont des cosinus. Ainsi l’erreur de cos 3 n sera . ■ - ■
celle de cos 4 a sera de même
ios.2 — 4 s — 16 s ;
celle de cos 5 a. se ni
et ainsi de suite, c’est-à-dire, en généralisant, que cos (/« -f- 1 )ct comporte une erreurlimite de
{/n’-t-lje X 2 — [ni — «)’e <=■ (m
ce qui montera pour l’arc de 100 grades, c’est-à-dire le quadrant, à io n 6, et fera, par conséquent, perdre à la série des cosinus douze décimales sur vingt-quatre, de même que la série des sinus en avait perdu six sur dix-liuit.
On voit donc que d’un coté comme de l’autre, on conserve douze décimales exactes dans toute la suite des calculs.
Cette méthode s’appliquerait aussi facilement à l’ancienne division du cercle, c’est-à-dire à la division sexagésimale ordinaire ; car l’on sait que la nouvelle division décimale n’a pas prévalu , quoiqu’elle ait été adoptée dans plusieurs ouvrages, tels que Ta Trigonométrie de Legendre. On l’a sans doute rejetée, parce que le nombre 100 n’a pas autant de diviseurs que go et 60, mais surtout parce qu’elle aurait nécessité l’abandon d’une foule d’instruments dont les limbes étaient divisés suivant la méthode sexagésimale.
S 2 . Les constructions qui donnent en géométrie les côtés de certains polygones réguliers permettent d’obtenir des vérifications assez nombreuses pour les sinus et cosinus de certains arcs. Voici un tableau qui contient les valeurs des sinus et cosinus de g en g degrés (il est bien entendu que nous reprenons. ici la division
io8
ordinaire) :
sm
CHAPlrlU (.HATUltMK.
sin o" = o, ros° = i ;
«JS g 0 = î V3 + V5 4- ^ V5 — Y^i
in i8°=~()/5 — i),
cos i 8 0 = jV^°4- 2 y'5 ;
sin 27 “ = 7 \^5 + \^5 — 7 V3 — y'5 , .
COS 27 " = y\5 -+- v^5 -+- 7 V3 — ^5; .
sin 36“ = -^ V io — 2 \/5, cos 36° (y^5 -+■ 2 );
COS 45°= - V 2
On peut ajouter au tableau les valeurs suivantes :
1 V 3 sin 3 o °=-5 cos3o? = — ;
sinbo° = — » cosbo°=-;
cos 1
Ces valeurs du sinus et du cosinus de i5° = — ont clé obtenues
d’après celles du sinus et du cosinus de 3o° = g au moyen des formules <pii permettent de prendre la moitié des arcs. On aurait de
même les valeurs de ces lignes pour -y> , etc.
aEpliCATioKs mathématiques. loti
Ayant obtenu par le côté tlu décagone régulier le sinus et le cosinus de % et de — * on calculera ceux de — ». etc.
5 to 20 4°
En appelant x le côté du pentédécagone , on aura
x — asm— =»
et d'ailleurs
85. Après avoircalculé les sinus et cosinus naturels, il faudrait chercher leurs logarithmes, mais comme nous avons supposé jusqu’ici le rayon égal à l’unité, tous ces logarithmes seraient négatifs; on prend donc un rayon R = io’*, ce qui revient à ajouter loi tous les logarithmes des lignes trigonométriqnes. De cette façon, il faudrait que les arcs fussent beaucoup plus petits qu’on ne les rencontre dans la pratique pour que les logarithmes de leurs sinus ou de leurs tangentes fussent négatifs. Par exemple, pour que le logarithme d’un sinus fût alors négatif, il faudrait
que l’arc correspondant fut moindre que -,
C’est pour nous conformer à l’usage que nous avons parlé du rayon des Tables; d’après ce que nous avons vu au n° 80, il serait plus naturel de dire simplement qu’on ajoute to aux logarithmes pour les rendre toujours positifs.
Du reste , on conçoit qu’on cherchera le logarithme des sinus et des cosinus naturels comme ceux des nombres ordinaires; ainsi les logarithmes des nombres étant calculés, par exemple, avec sept décimales, on aura aussi sept décimales pour les logarithmes des lignes trigonométriques. . - • \
On peut d'ailleurs développer directement en série les logarithmes des sinus et des cosinus. Pour cela , rappelons-nous que la
sin x rz. x —
i .2.3 i .2. 3. 4-5 est convergente , non pas seulement quand x est contenu dans le
IIO CHAPITRE QIMTRIÈMK. -
premier quadrant , mais aussi quand x augmente ou diminue d’une ou de plusieurs circonférences. Par conséquent , l’équation
sera résolue pour toutes les valeurs de x dont Ve sinus est nid ; ces valeurs sont contenues dans l'expression • ’
k étant un nombre entier quelconque.
Or le polynôme , même indéfini , d’une équation, se décompose dans le produit des facteurs qui le rendent nul ; on aura donc
car il est facile de voir que x = rt /'7r rendra nul un des facteurs du second membre. On aura donc aussi, en dédoublant ces facteurs,
*('4) (-;) (■-=) (-=) (■+f.)(-ÉÏ • •
Il sera donc d’autant plus facile de prendre les logarithmes de part et d’autre , que la forme des séries logarithmiques s’applique parfaitement aux facteurs du second membre.
Le même raisonnement s’appliquera au développement du cosinus
cos jr = I- On sait que l’on a
rosx=o pour x ir rt ~ (4 k ztz 1 ),
ce qui donnera l’expression
cos.r = I 1 H ) !
\ 3 ir )
\ 5ir / V
2 x\ 5ir)
dans laquelle les coefficients de n au dénominateur sont les nombres impairs.
Le calcul logarithmique s’appliquera de même à celte formule ; mais, pour plus de détails, on devra consulter l’avertissement qui précède les Tables de Gallet, pages 48 et suivantes.
Enfin, quelle que soit la méthode employée, les logarithmes des tangentes et cotangentes se trouveront par soustraction au moyen des logarithmes des sinus et cosinus.
Si. Calcul de w.
Tous les calculs précédents, relatifs aux lignes trigononiétriques, sont basés sur la connaissance du nombre tz, rapport de la circonférence au diamètre. Depuis Archimède, qui l’a calculé le premier, on a proposé, pour en trouver la valeur, bien des méthodes géométriques ou analytiques, dont la discussion nous entraînerait trop loin.
On sait que le rapport indiqué par Archimède est — , et que
celui d’Adrien Métius, égal à — -, est facile à retenir, parce qu’il
suffit d’écrire deux fois les trois premiers chiffrés impairs, ce qui donne 1 1 3355, et de prendre la moitié du nombre pour numérateur et l’autre moitié pour dénominateur. On trouvera facilement l’approximation respective de ces deux rapports en les réduisant en décimales et comparant les résultats à ceux que nous allons déterminer.
La méthode la plus simple pour trouver la valeur de n consiste dans l’usage des séries qui proviennent du développement
j : 3 ar s x'
arc tanga: = .r — — — 1 — - —
, , , tanga -t- tang é
La formule tang a -t- b) — — T donnera
6 ' ^ ‘ i— tanga tang i
^ = arc tang - -j- arc tang g -t- arc tang g, formule assez avantageuse, car les puissances de ^ donneront
t I 2 CHAPITRE QUATRIEME.
celles de et même celles de - = — ; il s'agira toujours de o 5 i o
former les puissances de ?..
On a encore
7 = arc tang — h arc tant;- et 7 = 2 arc tang -? -i-arc tang-- -4 2 i 4 a 7
Hais la formule dont on se sert le plus souvent est celle-ci, qui a clé trouvée par Machin ,
\ = 4 arc tang £ - arc tang
Nous allons faire usage de cette formule en poussant le calcul r jusqu’à vingt décimales, comme dans la Trigonométrie de MM. Delisle et Gerono#
Calcul de 4 arc tang — •
|=„,8 ' = o,ooo ?5 6
— i— = 0,00000 00000 oo 3 o 8 4047° 5 g 17. 5 1 ’
^ — .— 0,00000 00000 00000 ooo 53 6 q 25 5 ÏS •
— = 0,00000 00000 00000 00000 on 29.5” ‘
Somme = o, 80025 62278 07925 8987 1 81
g; o,oi 066 66666 66666 66666 67
! j g,, — 0,00000 OOO74 47272 72727 27
