OOOOO 0001 I

; — 0,00000 00000 00000 oi 458 8q

Somme = 0,01067 3 g 884 08402 86528 78 Retranchant cette somme de la précédente, on trouve

4 arc tang i = 0,78958 22.393 99523 o3348 o4

Calcul de arc tang

5 ~ 23 çf = °’ 00000 00000 00256 47231 44 Somme = o,oo 4 i 8 4 I oo 4 i 86665 t 4 i 5 54

— — 0,00000 00000 00000 oo32o 71

Somme = 0,00000 00244 * 65 gt 79029 09 En retranchant cette somme de la précédente, on obtien

arc tang 0,004 18 40760 02074 72.386 45

En retranchant celte valeur de 4 arc tang -, il vient ^ = 0,7853981633 97448 3 og 6 i 58 .

D’après le principe du n° 10 , on prendra pour mesure de l’erreur dans chaque série, le premier terme que l’on néglige : on reconnaît d’après cela que ce résultat, calculé avec vingt-deux décimales, en a au moins vingt qui sont exactes ; d’où l’on tire

On pourrait encore modifier ce calcul en observant que

arc tang — =— = arc tang arc tang — ,

• • ce qui donne

^ = 4 arc ,an £ r + arc

P arc tang — •

Relativement à cette dernière formule, nous remarquerons qu’on peut diviser par 99 comme par un nombre d’un seul chiffre. Soit, par exemple, à diviser par 99 le nombre 5743266, nous dirons: en 574, le diviseur se trouve 5 fois, et il resterait 74 si l’on divisait par 100, mais il reste 5 de plus, ce qui fait 79, et l’on dit : en 793, on trouverait 7 fois 99 avec le reste 93 + 7=100; donc il y est 8 fois avec le reste 1 . En 1 2 , il n’y est pas et le quotient est o; en 125 , il y est 1 fois et ainsi de suite.

On trouvera dans l’avertissement de Callet, page 96, les 128 décimales calculées par Lagny en 1719. Différents géomètres, M. Rutherford, M. Dalise, etc., ont vérifié et étendu ce calcul, et M. Richter l’a poussé jusqu'à 333 décimales. Malheureusement peu de personnes sont capables de vérifier de semblables approximations, et d’ailleurs elles n’ont pas d’importance pratique, car M. Lehmann, de Postdam, a observé que si l’on cherchait le volume d’une sphère ayant pour rayon huit trillions de kilomètres, et si l’on voulait calculer avec une exactitude telle, que l’erreur fût moindre que la plus petite grandeur microscopique, moindre

AWI.1C.ATI0NS MATHÉMATIQUES. 1)5

qu’un cube d'un millionième de cenlimètre de côté, il suffirait de prendre it avec 90 décimales (1).

Lambert a démontré que le nombre n et son carré étaient deux nombres incommensurables; nous renverrons pour la démonstration à la Note IV de la Géométrie de Legendre. Ces deux théorèmes ne suffisent point pour prouver l’impossibilité géométrique de la quadrature du cercle : il faudrait faire voir que ir ne peut être racine d’une équation telle, que cette racine se construise par la règle et le compas; mais cette proposition, quoique très- probable , n’a pu être encore démontrée.

Vu l’importance de ce nombre, on l’a présenté sous plusieurs formes différentes, et, par exemple, sous celle de fraction continue. Pour y parvenir, on est porté naturellement à prendre r. avec un certain nombre de décimales et à réduire cette quantité en fraction continue, mais il faut observer que les réduites obtenues s’approcheront, non pas de la valeur de n , mais seulement de la fraction que l’on a prise pour remplacer ce nombre. Pour être sûr que les quotients incomplets auxquels on parvient appartiennent effectivement à n, il faudra prendre deux valeurs, l’une plus grande que n , l’autre plus petite, et les réduire toutes deux* en fraction continue. Il est clair que tous les quotients incomplets communs à chaque fraction continue appartiendront aussi à la valeur de r.

F.n prenant, par exemple, les deux valeurs

ct

qui comprennent rr, et ne gardant que les quotients incomplets communs aux deux fractions continues qui résultent de ces quan-

(*) Voir Nouvelles Annules de Mathématiques , tome XIII , i85/5 , pafgcs^i8 et suiv. -

tités, on trouve

ir = 3 +

CHAPÏTRK (JUATRlÈMt.

ce qui donne les réduites suivantes :

D’après les propriétés des réduites, n° 18 , on sait que chacune de ces fractions approchera plus de la valeur de rr que toute fraction plus simple. De plus, ces réduites sont alternativement plus petites

et plus grandes que v : ainsi, 3 est trop faible, trop fort; et

ainsi de suite. L’erreur de ce rapport —, qui est celui d’Archimède, sera donc évaluée par la fraction

Le rapport dû à Adrien Métius, sera aussi trop considérable, mais l’erreur sera évaluée par la fraction 1 «

ii3.33io2 374»52.6

On trouve d’ailleurs

donc ce rapport n’est en erreur qu’à la septième décimale.

Au commencement du n° 18 , nous avions réduit en fraction

continue cette même fraction l* 1 * nous avait donné pour

réduites les quantités

ce qui diffère du véritable développement de n en fraction conti-

nue, parce qu il y manque la réduite —