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Fig. 34 ■

cercle inscrit au triangle que l’on obtient en joignant les milieux des côtés du triangle donné.

Nous nous arrêterons sur une difficulté qui se présente dans la mesure des surfaces de révolution quand l’axe de rotation est un des côtés du contour.

Considérons, par exemple, un hexagone régulier (fis- 24 ) tournant autour d’un de ses côtés AB, et cherchons la surface engendrée par le reste du contour BCDEFA, car AB ne tournant pas n’engendre aucune surface. On pourrait l’évaluer en cherchant le centre de gravité de ce reste de contour et y appliquant la règle de Guldin; mais je dis qu’il suffit de prendre le centre de gravité O du contour total , la distance de ce point à l’axe AB étant

OM = -A- , si nous représentons par c le côté de l’hexagone régulier, et de multiplier le contour total 6 c par OM, de sorte que S = Gnc' 1 y/3.

Pour le démontrer, imaginons que le contour tourne autour d’un axe A' B' parallèle à AB, à une distance MP = d. La surface engendrée par le contour total sera, d’après la règle,

mais si nous retranchons la surface engendrée par le côté AB , c’est-à-dire le cylindre c.2irr/, la surface cherchée sera

- le y/3 \

6 c . 2 jr l - — 1- d J — 2 is cd.

Alors, si l’on suppose d = o, pour revenir au cas que l’on considère , il reste

S = 6 7 rc’ y/3 ,

comme ci-dessus.

Il faut donc compter le côté qui est sur l’axe, comme faisant partie du contour.