h tr 1 a 1 -f

Or

:JD (i — a) et

d’où enfin

</ = D ( l — a) -t- oc = D — a(D — i).

Ainsi le résultat obtenu par deux approximations successives est celui qui avait été déjà trouvé d’une manière rigoureuse.

Nous avons indiqué ce calcul comme un fait curieux , que l’on aurait pu prévoir dans la circonstance actuelle , mais qui montre que les erreurs se compensent quelquefois de manière à donner un résultat exact ; cependant on ne doit pas espérer qu’il en soit de même dans tous les calculs d’approximation.

On peut aussi demander le poids réel p. Il est clair que le poids réel de l’eau déplacée sera la différence entre le poids du corps dans le vide et son poids dans l’eau ; il sera donc égal à p — P'; donc

sera le poids d’nn égal volume d’air, ce qui donne

d’où

r>(l — a) = P — P' oc et p — •

•- ta.

l8o CHA.P1TBF. CINQUIEME.

On peut simplifier ce résultat paj l’approximation, en posant

ou , à peu près ,

p rr P ( l -4- a) — P' a

et enfin

Ainsi la correction est égale à

PROBLÈMES SlIR LES ATTRACTIONS

70. I. Nous allons chercher la diminution que la lune peut apporter à la pesanteur» d’un coups situé à la surface de la terre, dans les circonstances les plus favorables pour cette diminution, c’est-à-dire quand la lune L est au zénith de ce point M de la terre {fig. 25).

Soient C le centre de la terre , d la distance LC des deux centres, et représentons par L l’attraction de la masse de la lune sur la molécule M , à l’unité de distance: l’attraction à la distance LM = d — r sera, en représentant par r le rayon de la terre,

{à~rf

mais la diminution de la pesanteur due à cette attraction ne sera que

'L [d—ry <P

Fig. a5.

tl

En effet, si le point M était en C, l’attraction de la lune ne l’écarterait pas du centre de la terre, puisque les actions qui s’exercent en C tendent à entraîner la masse entière de la terre.

Cette diminution s’exprime encore par

■ • Digitlzeâ by

APPLICATIONS PHYSIQULS.

Mais, comme - est très-petit, posons

ce <|iii donne

en négligeant j

Donc

Comparons ce résultat avec l’attraction - qu’exerce la terre sur

cette même molécule , afin de voir dans quelle proportion le poids d’un corps sera diminué, -T étant de même l’attraction de la terre sur la molécule à l'unité de distance.

Le rapport sera

Or

îrL r 2 d 3 ‘ T

en prenant pour rie' rayon maximum de la terre, c’est-à-dire le rayon équatorial. Le rapport est donc

Ainsi le poids d’un homme, que l’on peut supposer de 90720 grammes, sera diminué de

on bien d’un centigramme ; c’est à peu près le poids d’un grain de blé.

(") C'est le nombre le plus récemment adopté pour exprimer le rapport de la masse de la luno à celle de la terre.

II. Considérons maintenant l’attraction d’un pôle magnétique B sur un aimant très-petit ab (fig. 26).

Ce petit aimant, supposé mobile, se mettra en ligne droite avec Fig 3 6. l’aimant B, de manière que son pôle aus-

k irai a soit tourné vers le pôle boréal B.

Dans cette position , les forces agissant o b dans la direction commune des aimants se

0 retranchent l’une de l’autre, et la résul-

tante est égale à la différence entre l’attraction de B et de a, et la répulsion de B et de b.

Soit /l’attraction de B et de a, à l’unité de distance; soient OB = d et O a — O b = /, quantité très-petite par rapport à d: l’attraction de B et de a, à la distance Bn= d — /, sera

■ (rf-0 2 '

De même la répulsion de B et de b , à. la distance B b — d-\-l, sera

parce que les deux pôles a et b ont la même force magnétique. La résultante sera donc

iy ( d

Nous aurons ençore

Hy

HT (,+r,)= ' +7

d’après les principes d’approximation ; de même

Il reste donc

r .-.-.SM

ou bien

III. Cherchons ensuite l'action mutuelle de deux aimants tréspetits ( fig. 27 }. -

Ces deux aimants, supposés mobiles, s’arrangeront naturelle- Fig. 37. ment dans une position telle, que deux pôles

de noms contraires se regardent et que les aiguilles soient sur une même ligne droite (nous' admettrons, comme dans le problème v précédent, que les deux aimants sont situés dans le même plan , qu'on peut supposer horizontal ).

Soit donc 00 ' = d [fig. 27 ) la distance des milieux de ces aiguilles, et soient ab = 9 .l, a' b' — il’ leurs longueurs respectives, qui sont très-petites relativement à d ; soit encore / l’action répulsive ou attractive d’un pôle de ab et d’un pôle de a' b', à l’unité de distance; nous indiquerons par F l’attraction résultante, car il est évident que cette résultante sera attractive, puisque les pôles a et b' qui se regardent sont de noms contraires.

Cela posé, les actions dues à b' seront

mais il serait facile de voir, et d’ailleurs nous le vérifierons bientôt, que si l'on opérait de celte manière, tout ce qui a rapport à i et U /' disparaîtrait. Cela tient à ce que , dans le développement rigoureux de toutes ces quantités, les termes de première puissance en l et V se détruiraient, et qu’il faut alors, ainsi qu’on l’a vu dans le n” 1 , recourir aux termes de seconde puissance.

Nous poserons donc, par la méthode des coefficients indéterminés ,

ce qui donne ou bien

(7T75 i = A + Bt + C! ’’

= (l 4- 2 e 4- s 2 ) ( A 4- B s 4- Ce 2 J i 2 4- . . .

On trouve donc

A = i, B = — 2 , C — 4 4- 1 = ° et C = 3 , d’où enfin

Si donc l’on pose «uccessivement

• t —± — - — et e = ± — — x

on aura

F tl‘ *(/'4-/) 3 (/' 4 - l)‘

2 (/'—/) 3 (/' — iy

2 (/'—/) 3 ( /' — iy

On voie (jue les termes du premier degré se détruisent , rnmmc

APPLICATIONS PHYSIQUES. liJ5

nous l’avions annoncé, et qu’il reste, pal une première réduction,

^ = 6 ri f + <T^L=X\ = L. 4«- / L <e I <<’ ’

et enfin