Soit un pendule simple suspendu en O [fig. 28 ), et que

l’on écarte en OB de la verticale OA poulie laisser ensuite osciller librement ; soient t le rayon OA de l’arc qu’il décrit , g la gravité au lieu de la terre où l’on se trouve; enfin soit AD = h la portion de la verticale interceptée par la perpendiculaire BD sur OA. Les Traités de Mécanique donnent la formule suivante, pour déterminer le temps T d’une oscillation, c’est-à-dire l’espace de temps que met le pendule à tomber du point B pour se relever de l’autre' côté en B' à une hauteur AB' = AB :

T= Vi

Mais si l’arc AB est très-petit, la distance verticalg h est elleinême très-petite par rapport à 2 /; on néglige non-seulement

ses puissances supérieures, mais aussi le rapport — kn-méme.

Alors le temps de l’oscillation est sensiblement indépendant de l’arc AB, pourvu que cet are ne dépasse point 3 ou 4 degrés, et il reste la formule généralement connue

Pour donner un exemple de démonstration approximative,

nous rappellerons le raisonnement par lequel on arrive à ce résultat si important.

Soit E l’écart total , c’est-à-dire la longueur de l’arc AB , il est facile de voir que

l’arc AB pouvant être confondu avec sa corde : cela tient à ce que, si l’on joint le point B à l’extrcmité C du diamètre vertical , le triangle CBA est rectangle en B. Soit l’arc AM = c,<[ E; on aura, à plus forte raison,

AP = -

si MP est perpendiculaire sur OA.

Or, quand un mobile tombe sur un plan incliné, hypoténuse d’un triangle ABC rectangle en A (nous n'avons point liguré ce triangle qu’il est facile de se représenter) , ce mobile possède, après être arrivé de C en B A l’extrémité de l’hypoténuse a, la même vitesse que s’il était tombé le long du côté vertical CA = b ; en effet, on sait, par le parallélogramme des forces, que l’accélération g-' dans le mouvement sur l’hypoténuse est diminuée dans le rapport de ce côté vertical b avec a , c’est à-dire que l’on a

Mais, quand le mobile arrive suivant CA, sa vitesse en A est

f = \fzgb-,

quand il arrivé suivant CB , sa vitesse en B est

ce qui montre que

Cela pose, comme l’arc BA et, en général, une ligne quelconque peut être considérée comme une suite de plans inclinés , on voit que la vitesse du mobile tombant de B en A sera la même que s’il était tombé de D en A.

Donc la vitesse de B au point A, c’est-à-dire la vitesse maxi-

mu m , sera

de même la vitesse de M en A sera

et celle de B en M sera

Vf’ '■

Cherchons à comparer cette vitesse variable à une vitesse constante.

Soit un cercle de rayon AB = E ( Jîg . 2g); le mouvement osdilatoire du pendule pourra être remplacé par une oscillation de B en B' sur le diamè- -> tre du nouveau cercle : or je dis que ce mouvement correspondra à un mouvement uniforme sur la demi- circonférence BDB',

avec la vitesse constante E

Vf:

En effet, soit pris sur la tangente en un point quelconque N, une vitesse mesurée par la distance

NR = E y/ , ,

sa projection NS sur AB se trouvera de la manière suivante; soit AM = c , M étant le pied de la perpendiculaire abaissée du point N sur AB : nous aurons