AP.OP' = OP. AP

"En effet , celte équation revient à

p.(?.a — p') = {p —fa)p'

ou bien

a p + ap' — pp'.

ce qui n’est autre chose que la relation déjà trouvée

III. Cherchons maintenant l’image, non plus d’un point, mais d’un objet, tel que la flèche SP [fig. 32).

Pour cela, nous commencerons par démontrer que l’image d’une droite est une droite parallèle à l’objet quand l’angle «, sous lequel, du centre de la sphère, on verrait cet objet, est suffisamment petit; nous supposerons aussi que le plan, mené par le centre de la sphère perpendiculairement à la droite, coupe cette droite sur l’objet lui-même en un point P ; alors l’axe sera POA , et soit S le sommet de la flèche, nous aurons l’angle

SOP = u ,

Fig. Î2.

sous lequel nous verrons l’objet ou du moins la portion d’objet SP.

Nous avons vu comment on déterminait sur l’axe l’image du point P, au moyen de la formule

Nous pouvons aussi chercher directement l’image de S, en joignant SO, prolongé jusqu’au miroir en B, et divisant harmoniquement le rayon OB , relativement au point S, ce qui se fera par la formule ' - ■ - r

dans laquelle ,

BS = J et BS' = t'.

Maintenant du point S' abaissous sur l’axe la perpendiculaire S' P', il faut prouver que le pied P' de cette perpendiculaire est l’image du point P.

192 • CHAPITRK CINQVIKMF..

Le triangle SOP donne

OP = OS cosw,

ou bien, puisque u est très-petit,