Prenons, pour premier exemple, l’expression — — , où s

représente tr.ie quantité très-petite. On sait qu’il est pénible d’avoir à diviser par une quantité approximative et incommensurable; cherchons donc à éviter la nécessité de cette division. Nous

remarquerons que, c étant très-petit, est plus petit que l’u-

nité, mais que la différence est peu considérable; nous pourrons donc poser

x étant encore une quantité très-petite. Chassant le dénominateur, on trouve

1 ï= (»-+• «)(i — -r) = 1+ £ — x — sx.

Réduisant et négligeant, d’après l’observation du n"2, le produit

XOTIOÎSS CKNÉRAI.ES.

t r qui est «lit second ordre de petitesse , il reste

et enlin

On aura de même

Vu l’importance de cette formule approximative, nous allons la démontrer par la méthode, moins simple peut-être, mais plus connue , de la division algébrique, qui donne le résultat suivant :

On voit qu’en supprimant les puissances supérieures de t , il reste pour quotient i — s.

De même

a 4" « n £ fl \ ni n fi'

Si le numérateur était lui-même une quantité très-petite S, on verrait que

n 4- s fi n 1 '

ou approximativement

puisque l’on néglige Se.

A. Les considérations précédentes conduisent à un résultat d’une grande importance, le théorème de Bernoulli sur la superposition des petits mouvements, ou bien , ce qui revient au même , la proportionnalité des petites causes aux petits effets. Ce principe consiste en ce que, pour tenir compte de chaque espèce de correction , il faut ajouter à la quantité observée (ou bien en retrancher,

suivant le signe do l’erreur) une correction prise a la simple puissance. Ainsi, A étant la quantité observée, pour tenir compte d’une première cause d’erreur il faut multiplier A par i-+- i, cette quantité é étant très-petite; puisque si elle était nulle, la valeur A serait exacte : de même, pour avoir égard à une autre correction , il faudra multiplier par i-f- 5; donc la vraie valeur sera

Développant et négligeant sS, il reste

ce qui revient à ajouter à la quantité A les corrections As et A <î, chacune prise en son signe.

Il en serait évidemment de même s’il y avait plus de deux causes d’erreur, ce qui permet de poser le principe suivant :

Chaque correction modifie le résultat comme si elle était seule (*’.

S. Nous appliquerons par la suite ces formules à différentes considérations de physique et surtout à la théorie des dilatations ; mais nous allons, comme exemple très-simple de l’utilité des principes précédents, chercher la distance entre le cercle et la tangente à l’extrémité d’un arc très- petit.

Soient AB=a la longueur d’un arc [fig. i) très-petit sur un cercle de rayon r, BC le diamètre passant par l’une des extrémités de cet arc, et BE la tangente à cette extrémité B; enfin du point A abaissons les perpendiculaires AD et AE sur le diamètre et la tangente: il s’agit de mesurer la distance AE , qui est évidemment égale à BD.