MILIEUX RÉFRINGENTS ET LENTILLES

73. Nous allons indiquer maintenant les solutions analogues pour les problèmes relatifs à la réfraction; mais nous aurons soin de compter toujours les quantités positives dans un même sens et les quantités négatives dans l’autre sens, à partir du changement de milieu : c’est une attention que l’on néglige d’ordinaire dans cette circonstance.

I. Considérons la surface sphérique AM [fig- 35) dont le centre Fi G 35- estC, et qui sépare deux milieux

différents. Le moins réfringent, l’air par exemple, dans lequel se trouve le point lumineux P, est du même côté que le centre, c’està-dire du côté de la concavité. Nous admettrons, pour fixer les idées, que l’autre milieu soit le verre.

Menons le rayon CP, qui rencontre la sphère en A, et représentons le rayon CA par R ; du point P imaginons un rayon lumineux quelconque PM, pourvu cependant que l’arc AM soit suffisamment petit; ce rayon se réfractera suivant MR , en se rapprochant de la normale MC, et la direction prolongée du rayon réfracté viendra couper l’axe en P,; nous poserons

AP = p, AP, = p , ,

et les données que nous avons prises ont l’avantage de rendre R , p et p, tous trois positils.

L’angle d’incidence est

i = CMP

I C)b CHAPITRE CIltQUIÈMK.

et l’angle de réfraction

r — CM P, ;

mais comme ces angles sont très-petits, au lieu de la formule connue

sin i = n sin r,

nous pouvons écrire

i — nr.

Nous avons, du reste,

P = C+i et P, = C + r.

La première égalité devient

P = C -+• nr = C H- n (P, — C) = n P, — (« — i) C, d’où l’on tire

Si le point lumineux P avait été placé au delà du centre, P, aurait toujours été compris entre Cet P; cependant la ligure aurait été un peu différente, mais le résultat eût été le même, comme il serait facile de s’en assurer directement.

En remplaçant les arcs très-petits P, , P et C par leurs tangentes, comme on a fait pour les miroirs, la formule

devient

II. Cette formule servira généralement à passer d’un milieu à un autre, et elle sera facile à modifier suivant les circonstances. Si la surface sphérique de séparation tourne sa convexité vers le point P, changez le signe de R , puisque C et P seront alors de côtés opposés du point A. Si le rayon lumineux passe du verre dans l’air, au lieu de passer de l’air dans le verre, changez n en

— quant au signe de p , , il sera déterminé par la formule elle-

même.

Supposons que l’image virtuelle trouvée en P, serve elle-même

APPLICATIONS PHYSIQUES. I yj

d'objet , le rayon réfracté MR sortant du verre pour rentrer dans l’air par une nouvelle surface sphérique de séparation convexe vers P,; il faudra faire à la fois les deux changements que nous venons d’indiquer, ce qui donnera

Ici R' est le rayon delà nouvelle sphère; le point P,, qui tout à l’heure était l’image, doit être maintenant regardé comme l’objet, et la seconde image sera en P' (fig. 36).

On voit qu’il s’agit de chercher le point P' où la ligne des deux Fie. 36. centres C et 0/ est cou-

pée par la direction prolongée du rayon émergent M' E à travers une lentille biconcave. Seulement, afin que les deux formules puissent coexister, il faut admettre, ainsi que pour les autres lentilles, que le point lumineux P est placé sur CC', et aussi que l’on peut négliger l’épaisseur de la lentille, puisque la réunion des formules suppose que A et A' sont confondus en un seul point.

La seconde formule devient

ou bien

np' p, n R'

Ajoutons la première formule

afin d’éliminer p„ il reste

Iqb CHAPITRE CINQUIÈME.

On en conclut

donc p' est toujours positif, c’est-à-dire compté de A en C. Ainsi, dans une lentille biconcave , l’image est toujours virtuelle.

Le maximum de p' aura lieu pour p =ao . Soit alors

AF = a

ce maximum de p', on trouve

et la formule devient

Comme les rayons lumineux peuvent venir du côté de C' aussi bien que du côté de C , on conçoit qu’il existe un point analogue F' vers C', et comme les distances AF et A' F' sont égales, puisqu’elles sont données par la formule

il en résulte que les deux foyers sont à égale distance de la lentille, même quand R et R' sont différents.

Ici la lentille biconcave étant divergente, ces deux foyers principaux sont eux-mêmes virtuels.

m. Pour passer à la lentille biconvexe, il suffit de changer les signes de R et de R' et la formule devient

en posant toujours

(*) Dans la plupart des Traités de Physique, on écrit la formule de lji

APPLICATIONS PHYSIQUKS.

Ici p = oo donne

foyer principal réel , o» se réunissent la chaleur et la lumière du soleil.

Cette formule

i ii

donne

i i i , ap

-= et p’ — — —

On voit que p' est négatif et réel si a <f p , mais positif et virtuel si a~^y> p. Enfin , si a = p, on trouve

résultat inverse de celui qui donne

p’ — a pour p = oo .

En effet, les quantités p et — p' sont réciproques, c’est-à-dire que l’objet et l’image échangent leur position, comme pour les miroirs.

Si les deux centres des faces de la lentille étaient du même côté que le point lumineux , on aurait

La lentille serait divergente si R'^>R, et convergente si R'<^ R. On sait, en général, qu’une lentille est divergente quand elle est plus épaisse aux bords qu’au milieu , et convergente dans le cas contraire.

lentille biconvexe de la manière suivante:

mais alors il faut regarder p et p comme tous deux positifs , quand ils sont comptés de côtés opposés de la lentille. Du reste, p et — - p' sont toujours symétriques dans notre formule.

Pour trouver la formule dans le cas où les deux centres sont du côté opposé au point lumineux, il suffit de changer les signes des rayons R et R', ce qui donne

Dans la première formule, R représente le rayon de la circonférence la plus rapprochée du point lumineux. C’est le contraire dans la seconde.

Si l’une des faces était plane, le rayon correspondant, R' par exemple, serait infini, et l’on aurait

IV. Nous allons maintenant faire voir que, si l’axe de la lentille passe par l’objet, et si d’ailleurs cet objet est une ligne droite suffisamment petite et peu inclinée sur l’axe, l’image est une droite parallèle à l’objet.

Pour démontrer ce résultat, il n’est pas nécessaire de considérer la lentille elle-même, mais seulement le passage d’un milieu à un autre ; car la proposition étant établie pour un indice de réfraction quelconque , sera vraie pour le passage de Pair au verre , puis du verre à l’air, et se trouvera démontrée pour la lentille.

Du centre C de la surface sphérique qui sépare les milieux Fin. 37. (fig. 37)2 menez un plan perpen-

diculaire à l’objet SP, et qui coupe cet objet lui-même en P, parce que SP étant peu incliné sur l’axe de la lentille et rencontrant cet axe, les plans menés perpendiculairement à la direction de SP par les différents points de de l’axe, tel que C, rencontrent SP, on du moins en passent à une distance très-petite.

Soit donc SP l’objet ou la portion d’objet perpendiculaire au rayon CA = R , soit AP =r /; j nous avons trouvé l’image du

point P par la formule

dans laquelle AP = p, et « est l’indice de réfraction en passant de l’air, où est le point lumineux P, dans le verre terminé à la surface AM. Nous pouvons aussi chercher directement l’image de S en joignant SC prolongé jusqu’à la surface en B, et écrivant la formule

dans laquelle

BS = J et BS, = s,.

Maintenant du point S, abaissons sur CA la perpendiculaire S, P,, il faut prouver que le pied P, de cette perpendiculaire est l’image du point P.

L’angle C des triangles CSP, CS, P, étant très-petit, on en conclura, comme dans le passage correspondant de la théorie des miroirs,

CS = CP, d’où s — p ,

de même

CS, = CP, , d’où AP, = s, ; donc la formule

devient

ÂP7 ~p ~ R ’ ce qui, par comparaison avec

donne

AP, =/>,

Ainsi, l’image de la droite SP est une droite parallèle S, P. D’après ce que nous avons vu au commencement de cet article, cette

proposition est vraie, non-seulement pour le passage «l'un milieu à un autre, mais pour l’image due à la lentille elle-même.

V. Pour reconnaître si l’image obtenue à travers une lentille est droite ou renversée, et si elle est plus grande ou plus petite que l’objet, il suffit généralement de considérer la construction géométrique de cette image telle que nous la ferons bientôt. Cependant nous allons établir ce rapport d’une manière générale.

Voyons d'abord ce qui arrive au passage d'un milieu à l’autre [fis- 37 )- Les triangles semblables CSP, CS, P, donnent

en posant

De plus, la formule

h CP