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ou bien et encore

ce qui donne enfin

2 pp' = 4 "P — 2 pp' — 4 a P'>

pp'= ap — ap ;

Le miroir représenté dans la figure étant convexe, la caustique est virtuelle. Si le point P était à l’intérieur, on obtiendrait

et la caustique serait réelle.

II. Ce système de coordonnées permet donc de construire la caustique pour une position quelconque du point lumineux. Si

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CUAPITRK CINQClk.UK.

/> — x> , c’est-à-dire si les rayons incidents sont parallèles, il reste

Mais, sans avoir recours à ce résultat du calcul, nous démontrerons encore le thcorcine suivant :

Si tics rayons lumineux parallèles à une droite AP [fig. 43) tombent sur un miroir sphérique concave dont MPN est un grand cercle , la ligne caustique correspondante à MNP est l'épicycloïdc intérieure engendrée par un cercle dont le rayon est le quart du rayon de la sphère.

I-’epicycloïde, courbe que nous étudierons plus tard, est engendrée par le mouvement d’un point pris sur une circonférence quand cette circonférence roule sur une autre circonférence. Comme celte rotation peut avoir lieu à l'intérieur ou à l’extérieur de la circonférence fixe, il y a des epicycloïdes intérieures et extérieures.

Considérons un rayon quelconque EB qui se réfléchit en BG', de manière que l’angle F.BA = ABG';soit F le milieu du rayon

AP de la sphère. Du centre A et du rayon AF décrivons un cercle qui coupc AB en D; du milieu C de BD comme centre et du rayon CD = CB, décrivons le cercle mobile indiqué par le théorème, et soit G le point où il est coupé par le point lumineux EB:

l’angle DGB sera droit, puisque DB est un diamètre ; par conséquent, DG est parallèle à AE ; donc soit la corde de ce cercle DG' = DG, le rayon réfléchi sera B' G, perpendiculaire à DG', puisque l'angle G' BD = GBD.

Cela posé, le point G' sera sur l’épicycloïde indiquée, la circonférence mobile de centre C partant du point F que la rotation porte en G'. En effet, l’angle G' BD = DBG est complément de l’angle DAE, et, par suite, égal à l’angle FAD. Or, G'BD a pour mesure, comme angle inscrit , la moitié de l’arc G' D, et l’angle au

KÎ0. /|H.

centre FAD a pour mesure l’arc FD ; donc l’arc G' D est égal en longueur à l’arc FD dont le rayon est double, ce qui prouve, en effet, que le point G' parti de F décrit l’épicycloïde indiquée. On peut aussi regarder cette épicycloïde comme engendrée extérieurement par la révolution du cercle C autour du cercle AD.

Pour achever de faire voir que cette courbe est le lieu géométrique des intersections consécutives des rayons réfléchis, il faut encore prouver que la droite BG' est tangente en B' à l’épicvcloïde : pour cela , il suffit d’observer que le cercle C roulant sans glisser sur le cercle AD, la ligne DG' peut être considérée comme le rayon d’un cercle de centre D et avec lequel est décrit l’élément G' de la courbe; donc DG' est une normale, et, par suite, BG' une tangente à cette courbe.

On voit d’ailleurs que F est le foyer principal du miroir.