MESURE DE LA PROFONDEUR D'UN PUITS

78. Nous terminerons ce chapitre par une nouvelle application de nos principes d’approximation à un problème relatif à la fois à la pesanteur et il l’acoustique, et dont voici l’énoncé.

On a laissé tomber une pierre au fond d’un puits ; au bout de n secondes on entend le bruit de la chute: on demande la profondeur du puits.

La vitesse de propagation du son dans l’air est p — 333"' v^t -+- a t,

x étant le coefficient de dilatation de l’air que nous avons déjà exprimé par y—î ainsi, cette vitesse sera 333 mètres à o degré, et à

peu près 339 mètres à 10 degrés. La pression atmosphérique ne figure point dans cette formule, parce que, d'après la loi de Mariotte , elle fait varier la densité de l’air dans la même proportion que son élasticité.

La formule

donne

pour le temps de la chute. D’ailleurs le son parcourant i mètre en une fraction de seconde -> parcourra e en donc

c lie

ce «jui donne

le / c\ l

et l’on obtient l'équation

r' — ?. ep n + -+- n'p' — o.

’ Comme o, on voit que les deux racines sont de même

signe et, par conséquent, positives; cependant, de ces deux racines qui se présentent sous la forme

il est clair qu’une seule convient à la question, et je dis que c’est celle dans laquelle le radical est pris négativement. En effet , si l’on prenait le signe positif, on trouverait e^>pn : or, si l’on avait seulement e=pn , il en résulterait , d’après l'équation

que le temps y -- de la chute du corps devrait être nul ; donc,

à plus forte raison, l’on ne peut avoir e ]>/?/*, et la valeur cherchée est

D’après la formule que nous avons posée pour la vitesse de propagation du son , il est facile de voir que, dans les circonstances

APPLICATIONS PI1YS1QUF.S. 2l3

ordinaires de température , on peut prendre , sans erreur sensible ,

p — 34 <J mètres.

Ensuite on sait que g — q™ , 8088 à Paris ; on peut donc prendre , à une unité près ,

et la formule devient

e = 34o [ il -f- 34 — \/( 34 Y 4- 34 • 2 » ] ■

Maintenant nous allons la simplifier par les méthodes connues d’approximation.

Nous avons trouvé ( 27 ) le développement, par le binôme de

Newton, delà quantité (1 -+- e)’ , où : est supposé suffisamment petit : calculons les trois premières puissances de 1 , et même la quatrième, afin d’avoir une évaluation de l’erreur; nous trouverons

ce qui donne

Nous pouvons transformer le radical de la manière suivante :

en posant

Remplaçant donc s par cette valeur, nous avons

ai ij. CHAPITRE CINQUIÈME. — APPLICATIONS PHYSIQUES.

Effaçant donc les termes qui se détruisent , on trouve

Si nous négligeons le dernier terme, il reste

et nous nous arrêterons à cette formule approximative, très-facile

à calculer, car il suffit, pour avoir la correction ^7-1 de multi*

e = 4 * mètres ;

e = 107 mètres.

Ces résultats s'approchent , à 1 mètre près, de ceux qui seraient donnés par la formule rigoureuse

C’est une approximation plus grande qu’on ne pourrait l’attendre du dernier terme négligé

cela tient à ce que l’erreur commise en supprimant ce terme est opposée h celle que l’on fait quand on pose

plier 5 n 1 par —y

Ainsi n = 3 donne

n = 5 donne

On comprend du reste que la formule rigoureuse elle-même ne peut donner qu’une appréciation grossière , à cause de la difficulté dévaluer^, mais surtout parce qu’il est impossible de mesurer le temps d’une manière suffisamment exacte pour connaître avec précision la profondeur cherchée.