CHAPITRE VI

INTKRPOLATIONS.

70 . Si l’on donne « + i valeurs .r 0 , x, , , . . , x, d’une variable .r, et les valeurs correspondantes y y„

d’une fonction y de celte variable, on appelle interpolation toute méthode capable de faire connaître les valeurs de y qui correspondent à d’autres valeurs de.r, comprises entre .r„ et .r„. On conçoit, en effet, que ces n + 1 données seraient insuffisantes pour déterminer y au delà ou en deçà de cet intervalle, surtout si l’on ignorait la forme analytique de la fonction , comme cela arrive dans beaucoup de questions pratiques : ainsi nous ne connaissons point la nature de la relation qui existe entre la température et la force élastique de la vapeur.

Cependant quand on ne sait point déterminer analytiquement y au moyen de x , on peut généralement représenter cette fonction par une équation empirique. On a recours d'ordinaire à la méthode des coefficients indéterminés, c’est-à-dire que l’on pose

y = n 4 - bx -t- ex'- - 4 - . . . .

Les coefficients fl, b, c,. . . peuvent être en nombre n -t- i , et se trouveront au moyen des n h- i valeurs connues de y; mais cette méthode ne sera véritablement avantageuse que si l’on peut se contenter d’un petit nombre de termes. C’est ce que l’on reconnaît quand les coefficients décroissent rapidement, et quand on arrive promptement à un coefficient assez petit pour que l’on puisse négliger les termes suivants.

77 . Nous choisirons , comme exemple trcs-simple, le calcul de la longueur de l’annee.

La longueur ni de l’année moyenne se présentera en l’an ?.36o.

c’est-à-dire 23,6 siècles apres J.-C. , mais nous prendrons cette époque pour point de départ.

L’année maximum , de longueur m -+- 38 ", a eu lieu en 3 o 4 o avant J.-C. , ce qui fait 54 siècles avant l’origine.

L’année minimum, de longueur m — 38 ", aura lieu en l’an 7600, ou bien 52,4 siècles après l’origine.

Donc-, depuis les temps historiques , l’année est m -f- y, c’est-àdire qu’elle a un excès y sur l’année moyenne, mais cet excès va toujours en diminuant.

Pour l’époque d’Hipparque, qui vivait en i 4 o avant J.-C., ou bien 25 siècles avant l’origine , on. trouve à peu près

Pour l’an 1800, ce qui fait 5,6 siècles avant l'origine, on a trouvé

D’après cela , on demande le développement de y suivant les puissances de x , nombre de siècles.

Nous verrous bientôt que l’on peut se contenter de deux coefficients , ce qui permet de poser

car il est clair que

.r — o donne y = 0 ,

puisque la variation y est nulle à l’origine ; mais, pour déterminer A et B, nous prendrons les deux limites extrêmes, afin d’embrasser toute l’étendue de la série.

Substituant donc , dans l’équation

les valeurs

x a “ — 54 » y 0 — 38 et x n — 52 , 4 » y n *— 38 ,

nous aurons deux équations de condition qui nous donneront A =r — 0,71461, B = — 0,000202.

La petitesse de cc dernier coefficient nous dispense d’en calculer

d’autres , et nous avons

INTERPOLATIONS

D’ailleurs nous pouvons vérifier les deux observations intermédiaires dont nous n’avons point fait usage : ainsi

x = — 5,6 donne y = 3 ,gg au lieu de 4 , et

x = — 25 donne ^ = 17,639 au lieu de 18.

Cherchons ce qui aura lieu en 1900 : pour cette année,

puisqu’il se sera écoulé un siècle depuis 1800, nous trouvons alors

ou simplement

78 . Cherchons maintenant, par un développement d’une nature un peu différente, la variation du rayon de la terre suivant les diverses latitudes.

Soit R le rayon équatorial qui est maximum, comme on le sait, et soit r le rayon de la terre à une latitude quelconque À , je dis que l’on peut, pour une première approximation, poser

77— sin’X 3 oo

formule empirique déterminée d’après l’aplatissement connu de la terre, qui est égal à au pôle, pour lequel à = 90" : on prend

le carré du sinus , parce que cet aplatissement est le même pour ± 90°, puisque la terre est une surface de révolution.

Mais cette formule serait insuffisante, et il faut ajouter au coefficient de R (ou en retrancher, s’il y a lieu) une quantité dépendant d’une observation faite , pour plus de sûreté , à égale distance entre o et 90 degrés, c’est-à-dire à 45 degrés. Je dis que nous pourrons tenir compte de l’observation faite en ce point, si nous

ai8 CHAPITRE SIXIÈME.

introduisons il.tns la formule qui est jusqu’à présent

r= R ( i — t sin'X)

| ici i = “jj ) > un terme de la forme s' sin 3 2. À, car sin i ï sera

évidemment nul pour à = o et pour a — go°, circonstances dans lesquelles ce nouveau terme ne doit pas influer. Nous aurons donc

r = R (i — £ sin 3 X -f- s' sin 3 2 a).

Pour obtenir une troisième approximation , nous prendrons encore, à des distances égales entre o et 45 degrés, entre 45 et i)0 degrés, les arcs de 22"- et de 67° ce qui nous conduirait à ajouter un terme de la forme t" sin* 4 ^ fl u ' serait nul pour °> 9° et 45 degrés. Mais il y aurait cet inconvénient, que ce terme donnerait la même correction pour 22® | que pour 67® 7 : soit la correction donnée par l’expérience pour 22“ ~ ; soit e” la correction analogue pour 67° j : nous trouverons diverses manières d’avoir égnrd à la différence de et de £'*.

Nous pourrons ajouter un terme de la forme

sin 3 4 *'t w [t 4 - K sin 3 (X — 22° -5)},

K. étant un facteur tel, que pour

le coefficient

.'"fi -t-Ksin 3 (X — 22" |)1 soit égal à . ,v . Nous devons donc poser

INTF.RMOIATIONS.

ce qui donne enfin

R |i — tsin 3 i-f-e'sin’ 2 A+a’"sin , 4 ^j^i + 2 -- -— * ' sin ; (X — 22°y)J |-

On peut encore prendre une moyenne entre «" et *•’, en la regardant, sauf correction, comme la valeur «" dont nous avons

parlé. Cherchons donc ajouter à cette moyenne ^ s 1 ’) une

quantité qui soit égale et de signe contraire pour 22°-j et (#7° f .

On y parviendra en ajoutant une quantité <pcos2X, parce que X = 22° \ donnera