iji

Mais on sait que, pour les diamètres conjugués égaux ,

•angy =->

îsmaFOLATioKS.

rapport du petit axe au grand axe de l’ellipse, et comme le méridien elliptique de la terre donne

a 3oo 3oo '

on trouve

t = 44'’54'i 5" et i = it' 3o".

De plus , la figure montre que S est complément de MOP = 2 ? ; or

ce qui donne

taog 2 y

valeur qui peut servir vérifier la précédente (*).

80 . La question que nous avons résolue relativement à la forme du méridien de la terre nous fait voir de quelle extension est susceptible la méthode des coefficients indéterminés. On ne se borne pas toujours à développer une fonction suivant les puissances successives d’une variable , on introduit souvent des lignes trigonométriques ; quelquefois même les quantités indéterminées sont des exposants. Par exemple, le méridien terrestre ne pouvant se représenter exactement par une ellipse dont l’équation serait

on altère légèrement

(*) H serait facile d’arriver au même résultat par le calcul, mais nous avons préféré cette démonstration géométrique, qui nous n été communiquée par M. G. Fourcadc-Prunct.

peut représenter suffisamment le méridien quand on détermine a et b d’une manière convenable.

Mais surtout on fait un usage fréquent des sinus et cosinus des arcs multiples,' ainsi qu’on vient de le voir. Supposons, pour fixer les idées , que l’on demande de représenter par une courbe empirique la marche des températures pendant une journée. Les abscisses représenteront le temps, c’est-à-dire les heures de la journéedepuis le moment le plus froid ( entre trois et quatre heures du matin) jusqu’à la même heure du lendemain, et les ordonnées perpendiculaires seront l’excès de la température sur cette température minimum. D’après cela, il est facile de voir que la courbe se composera d’une suite d’arceaux dont chacun aura pour base , sur l’axe des abscisses, un intervalle représentant vingt-quatre heures.

Nous sommes donc portés à chercher, pour représenter la loi des températures, une courbe formée aussi d’une série d’arceaux consecutifs et tous égaux entre eux : telle est la sinusoïde dont l’équation est

y = sin.r;

maintenant il faut voir comment on pourra modifier cette équation pour qu’elle s’accorde avec l’expérience (*).

D’abord le maximum de la température ne correspondrait pas exactement, avec des coordonnées perpendiculaires, au milieu de l’intervalle compris entre les extrémités d’un arceau, mais à 2 heures du soir à peu près; on aura égard à cette irrégularité en convenant que, dans l’équation

y = sinx,

les ordonnées ne seront point perpendiculaires aux abscisses,

(" ) La base qui indique 24 heures correspond à l'arc x = ar, dans l’équation T = sin x : soit donc t le nombre d’heures; la valeur correspondante de x sera donnée par la proportion

d’où Von tire

INTtllfOLATlURS.

mais inclinées convenablement pour satisfaire à la condition énoncée (*). De plus, on donnera au second membre un coefficient indéterminé m , et l'on posera

y — m sin* ;

ici m = - , -4 ' n - — . i en appelant û l'angle des nouvelles ordonsm (0 — a) 11 °

nées avec les abscisses, et a l’angle de la tangente à l’origine. Si cela ne suffit point pour rendre compte des phénomènes, on ajoutera des termes contenant les sinus des arcs multiples, affectés d’autres coefficients, en prenant, par exemple, des multiples doubles les uns des autres, c’est-à-dire m ' sin 2 x, m" sin 4 x, . . , . Enfin , l’on peut aussi , comme on l’a fait relativement à la forme de la terre, employer les carrés de ces mêmes sinus : en un mot, on cherchera, dans toutes les questions, à traduire les phénomènes physiques le plus exactement possible par la formule la plus simple possible.

81. Si le problème est purement graphique, c’est-à-dire si l’on donne sur le papier un certain nombre de points qu’il faut réunir par une courbe continue, on y parviendra au moyen d’une série de circonférences convenablement tracées.

Imaginons quatre points d’une courbe O, A, B, C, il faut tracer cette courbe dans l’intervalle compris entre ces quatre points; le problème aura quelque chose d’indéterminé comme toutes les questions d’interpolation, mais il pourra néanmoins se résoudre avec une approximation suffisante, si les points donnés ne sont pas trop écartes les uns des autres (on s’est dispensé de tracer la

( ” ) Il suffira <le prendre t axe des y parallèle à la droite qui joint le milieu de la base avec le sommet de Tarccau , où la tangente est parallèle à la base. Pour cela , on se guidera sur le tracé empirique de la courbe, que Ton connaît d’avance, car nous cherchons seulement une équation qui puisse reproduire cette courbe. On se rappellera cependant que les abscisses qui représentent les heures ou les arcs correspondants se rapportent aux ordonnées perpendiculaires qui servent à construire la courbe : cette courbe étant construite donne la valeur des ordonnées obliques qui servent à établir lcquation

j sz. m sin x.

figure qui n’est point nécessaire pour l’intelligence de la construction).

Faisons passer par les trois premiers points O , A , B une circonférence dont le centre est en H ; de même, par les points A, B etC, nous ferons passer une autre circonférence de centre H'. Alors nous pourrons déterminer la portion de courbe comprise entre les points A et B, communs à ces deux circonférences; en effet, soit ON une abscisse qui correspond à cet intervalle, soient NM, NM' les ordonnées correspondantes dans les cercles de centre H et H', nous prendrons pour ordonnée de la courbe la moyenne