NM 4- NM

On déterminera de même les points compris entre 0 et A en comparant au cercle de centre H une autre circonférence passant par O, A et C. Enfin, on trouvera la portion de courbe comprise entre B et C, en comparant au cercle de centre H' une autre circonférence passant par O, B et C.

82. Mais d’ordinaire la question est posée analytiquement, et l’on donne les points O, A, B, C, etc-, par les valeurs numériques de leurs abscisses et de leurs ordonnées.

Alors il s’agit de faire passer par ces points une courbe qui remplace la courbe cherchée , du moins dans cet intervalle.

La nature de cette courbe approximative est essentiellement indéterminée ; cependant on doit la choisir avec discernement , mais il faut surtout que son équation présente assez de coefficients indéterminés pour que l’on puisse satisfaire à toutes les conditions exigées. Aussi cette courbe a d’ordinaire une équation parabolique, c’est-ê-dire de la forme suivante :

y — a bx -+- ex 7 -+- . . . .

Le nombre des coefficients indéterminés a, b, c, . . . est égal au nombre des points donnés, et, par conséquent, des équations de condition. Cela nous ramène à ce que nous avons vu dans les n 0> 76 et 77, mais nous nous proposons maintenant de donner une méthode simple et facile pour déterminer ces inconnues, quel

INTERPOLATIONS

qu'en soit le nombre. Nous y parviendrons en résolvant d’une manière générale les équations du premier degré à un nombre quelconque d’inconnues, par la théorie des déterminants {*).

85. I. Une fonction de plusieurs lettres est symétrique quand elle garde sa valeur si l’on change une de ces lettres en une autre, et réciproquement, comme, par exemple, a en b et b en a, sans toucher aux autres lettres.

Si cette fonction présente plusieurs fois la même lettre avec des accents ou des indices différents , pour indiquer des quantités distinctes, mais analogues, comme a , a', a", . . . , et b, b', b ",. . ., il faut comprendre que toutes les lettres a se changent dans les lettres correspondantes b, et réciproquement, en gardant leurs accents ou leurs indices.

Par exemple ,

ab' -+• a' b

est une fonction symétrique , parce que, si l’on lait le changement indiqué, elle devient

ba' -+- b' a ,

et, par conséquent, n’est pas altérée.

II. Si le changement que nous venons d’indiquer laissait à la fonction sa valeur numérique, mais changeait son signe, on dirait que la fonction est alternée.

Par exemple

ab' —a b

est une fonction alternée, car elle devient, par cette transformation,

ba' — b' a ;

elle garde donc sa valeur numérique , mais elle change de signe.

III. Parmi les fonctions alternées, nous considérerons les déterminants , dont nous allons montrer la formation.

Prenons le produit de n lettres, a , b, c, . . . , dans lequel cha-

{*) On trouvera dans le Programme de MM. Gcrono et Rogueldcs notions plus étendues sur les déterminants; mais pour approfondir cette importante théorie, il faut consulter l’ouvrage spécial de M. Brinschi.

cune de ces lettres ait un indice différent, ce qui donnera le produit ab' c" . . . , où la dernière lettre aura l’indice n — i : dans ce produit, faisons alterner deux lettres seulement, telles que b etc; c’est-à-dire changeons b enc, et réciproquement c en b, et en même temps changeons le signe de ce terme, ce qui donne

— ac' b". . . .

Ensuite , faisons dans le terme que nous venons d’obtenir la même opération entre deux autres lettres, en changeant encore son signe, ce qui le fera redevenir positif, de négatif qu’on l’avait rendu précédemment ; en continuant ainsi jusqu’à ce que l’on retombe nécessairement sur un terme déjà obtenu, on trouve le déterminant de n lettres.

Il est facile de voir que cela revient, sauf les changements de signe, à faire une permutation tournante entre ces n lettres. On dit qu’il y a permutation tournante entre plusieurs lettres quand on change la première dans la seconde , la seconde dans la troisième, etc., et enfin la dernière dans la première , en faisant aussi les changements réciproques.

IV. Pour conduire l’opération avec ordre et être sur de ne négliger aucun terme, voici la méthode que l’on peut suivre. Prenons une lettre quelconques, et considérons d’abord les termes où elle figure sans accent; on les obtiendra en mettants comme facteur d’une suite de termes où figureront les n — i autres lettres alternées deux à deux suivant la loi précédente, ce qui donnera précisément, d’après la définition précédente, le déterminant de ces s — i lettres. Seulement, comme le facteur s n’a pas d’accent, il faut qu’il y ait des accents à toutes les lettres de ce déterminant: nous l’indiquerons par la lettre A, qui montre que s n’y entre pas, et qui, n'ayant pas d’accent, fait voir aussi qu’il y en a sur toutes les lettres qui s’y trouvent.

Nous écrirons ensuite un terme ayant a' pour coefficient du déterminant A' des n — i mêmes lettres, seulement ce sera ici l’accent prime qui ne s’y trouvera point. On aura de même le terme n" A",..., et enfin le déterminant de n lettres sera

l)=flA + «'A' -+- a" A" -h. . . A>-'

INTERPOLATIONS

aa'j

Mais il est clair qu’on pourrait tout aussi bien poser D = 6B+ é'B'+ b" B" -f- . . . ,

I) — cC -f- c' C -4- c ' G" + . . . ,

en désignant par B, B', B",. . et C, C', C", . . . , des quantités analogues à A , A', A", ....

Cependant, il faut faire une observation très-importante sur la formation des quantités A, A', A",. relativement aux signes des termes qui Tes composent. On peut écrire la première A en prenant à volonté le signe de son premier terme, d’où l’on sait conclure celui de tous les autres , mais il faut en tirer aussi les signes des termes de A', A", .... Pour avoir, par exemple, ceux de A', prenons un terme quelconque de a A et faisons dans ce terme la permutation alternée entre a et celle des lettres qui porte l’accent prime , en changeant le signe, comme il faut toujours le faire ; nous aurons ainsi un terme de a' A' avec son signe, ce qui donnera celui de tous les autres. On en fera autant pour a" A", et ainsi de suite.

V. Les déterminants jouissent d’une propriété dont nous verrons bientôt une application très-utile : c’est que, si l'on change une première lettre dans une seconde sans faire la réciproque, c’est-à-dire sans changer aussi cette seconde lettre dans la première, le déterminant deviendra nul. En effet, considérons, par exemple, les deux lettres b et c; on sait qu’en les faisant .alterner dans un terme quelconque, tel que a b' c", on obtient

— ae’ b" :

mais si l’on change b en c sans faire la réciproque, on obtiendra ne' c " — ne' c",

ce qui se réduira à zéro ; il en sera de même , d’après la formation du déterminant, pour les autres termes considérés deux à deux (*).