VI. Comme exemple de la formation des déterminants, nous

(*) Le déterminant serait encore nul si l'on changeait, par exemple, le» accents prime en accents second? , sans faire la réciproque.

allons chercher celui de trois lettres , et nous prendrons ab' c" pour premier terme; il est clair que

ce qui conduit à poser

A' = cb" — bc" et A" = bc' — cb' :

la règle que nous avons posée revient à observer qu’une meme lettre avec un même accent, telle que b", après avoir été placée dans un terme négatif, doit ensuite se trouver dans un terme positif. Le déterminant cherché sera donc

D = « ( h'c" — c' b" ) 4- a' ( cb " — bc")- 1 - o" ( bc' — cb 1 ) ou bien

D = ab' c" — ac' b" 4- a cb " — a' bc" 4- a" bc' — a" cb', valeur alternée en a, b et c.

VII. Il nous reste à voir comment cette théorie s’applique à la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues. Soient

n équations du premier degré an inconnues.

Formons le déterminant D des n coefficients des inconnues (on voit que h, h', h" . . .h< n ~''> n’y entrent point) (*■). Ensuite, multiplions la première équation , où les lettres n’ont pas d’accent, par le déterminant A des n — 1 lettres b, c. . . formé comme nous l’avons vu : de même nous multiplierons la seconde équation par

(* ) Ce déterminant serait le même si les premiers membres des équation»

étaient

ax a' y +/<+...,

ex c'y Hh c" s -+- . . ,

INTERPOLATIONS. 22g

A', la troisième par A", . . . , et enfin la dernière par AC—') ; nous savons comment se forment toutes ces quantités.

Cela posé, faisons la somme de tous les produits précédents : le coefficient de x dans l’équation ainsi obtenue sera justement

D = aA + a' A' -I- a" K" A("~'>.

Quant aux coefficients des autres inconnues, ils seront nuis. En effet, le coefficient de y, qui sera , comme on le voit,

ne contiendra point les lettres a, a', a ", . . ., etil est facile de remarquer que ce sera le déterminant D dans lequel on aura changé les lettres a en lettres b, sans faire la réciproque; donc le résultat est nul, d’après ce qu’on a vu. Il en sera de même pour les coefficients des autres inconnues, ce qui donne

Dj=/iA+i'A , + A"A"+ ... H- A<— ’> A<— *>

et

AA + h' A' -t- h" A" -I- ... ) A<— >

h B -+- b' B' + A" B" + ... -h AC»- 1 ) B(— ’)

et ainsi de suite.

84. I. Revenons maintenant an problème que nous avons déjà traité par une méthode graphique et qui consiste à faire passer une courbe par quatre points donnés, les coordonnées de ces points étant ( x',y ' ), ( x",y "), ( x "',/" ) et le quatrième point étant l’origine des coordonnées.

Nous pouvons prendre pour joindre ces quatre points la conique qui a pour équation

/’+Mz’-t- N j- -t- Pj = o, ce qui donne les équations de condition

Hï” -|- N/* + Px'=o, r" 5 -I- M r" ! ■+• N/' 1 -t- Px" = o , N.r"”-+-Pa / "=o,

*3o CHAPITRE SIXIÈME.

entre lesquelles nous éliminerons par la méthode des déterminants les quantités M , N et P.

Le déterminant D aura pour valeur

et nous trouverons M, N et P par les relations

y S* y -S) +y‘y'x"(/-y) +yy/(/-/) + md = o,

x"'x"y" + x m x’y"' {x m —x’) x"x’/” (x' — x") + ND = o,

r m : r"x’'(y -y) + y/ y* (y - /) + y Sx"" (/ -S) + pd = o.