II. Si l’on pose

y — Mx -+- N.r’+ Px*,

on trouve

MD =y m x" , x' 1 ( x" ~x')-yy" y-x"{x' — x"') + r'x m ’x" ! (x'"— x"),

ND -f- yx"x' (x"»— x") + y"x m x'(x" — x"") +.r'x’"x" fx"’— x"’) = o, PD z=y m x"x' (x" - x') -+- y"x m x'(x' — x'")+/x m x" (x" — x").

88. Jusqu’à présent nous avons cherché par la géométrie ou le calcul le tracé ou l’équation d’une courbe capable de passer par un certain nombre de points déterminés, ou bien, ce qui revient au même, de représenter une certaine séried’observations. Nous allons maintenant reprendre le problème de l’interpolation à un point de vue purement analytique, et en admettant, pour obtenir des formules plus simples, que les valeurs successives de la variable indépendante forment une progression arithmétique : nous parviendrons à des résultats très-importants pour la résolution des équations algébriques et transcendantes.

Supposons donc que la différence entre deux valeurs consécutives de la série des n -+• 1 quantités’x, , x, , x, , . . . , x, , soit constante et représentée par

h = Ax,

nous aurons

x, = x, •+- ûx, x, = x, -f- Ax=r.r,4- 2 Ax, et ainsi de suite; enfin

INTERPOLATIONS. 23 1

Il nous faut maintenant étudier les variations correspondantes de la fonction y.

Les n 4-1 valeurs correspondantes de y seront j 0 , y,, y,,...,y„, mais les différences de deux valeurs consécutives ne seront pas égales pour la fonction comme elles l’étaient pour la variable indépendante , et nous aurons

y> — X>= ày,

ri— y i= Ar.

y>— y 2= ày.

A/, — A.r, ~ \‘y, Ay,— A ri = a \Ti

à'y,— A’yi= A J y,...

Les différences entre les valeurs consécutives de la variable sont les différences premières, celles qui existent entre ces différences premières sont les différences secondes qui donnent lieu elles-mêmes aux différences troisièmes , et ainsi de suite.

Nous allons chercher d’abord à exprimer la dernière valeur y, de la fonction au moyen de la première y, et des différences de divers ordres de cette quantité y,.

Nous avons d’abord

X< =y>+ Ay, > ensuite y,= y, -t- \y, ;

mais

tsy, = &y, + S'y,

comme on le voit en prenant les différences de l’équation précédente : remplaçons donc/, et A y, par leurs valeurs, il reste

Nous aurons de même

mais

A /i =iy,+ 2 A *y, -+- A 'y, ,

ce qui donnera

et ainsi de suite. -

On arriverait donc à la formule générale

jr„=jr,+ n Ay.H '■ A’y.H i -A^j,

L’analogie de cette formule avec le développement du binôme permet de l’écrire sous la forme symbolique

dans laquelle , après le développement, toutes les puissances de A deviendront des indices.

Si la fonction y est un polynôme de degré m , je dis que A m y sera une constante et que toutes les différences d’ordre supérieur seront milles. Remarquons d’abord que la seconde partie de cette proposition est une conséquence évidente de la première, car si les différences d’un certain ordre sont constantes , on aura des résultats égaux à zéro, en les retranchant les uus des autres.

Soit donc

ce polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de x , et considérons spécialement le terme de plus haut exposant Ax™. La différence première de ce terme sera

4i)’ — Ax™ = A^

ou bien