n Ax™ - ' 4i
X™ -s (Ax) J
en s’arrêtant au terme en Ax, qui contient la plus haute puissance de x.
La différence de cette première différence ou bien la différence seconde de A.*" sera
ni A (x Ax)™ - ' Ax — mAi* H Ax — Am (m — i) x™ — 3 ( A x)'
en s’arrêtant au terme en (Ax) 1 .
De même, le terme de plus haute puissance èn x dans la diffé-
rence troisième sera
IftTFKPOLATIONS.
A m ( m — i) (m — 2} x" -ï (Ax) 3 ,
et ainsi de suite pour les autres différences : on voit que le calcul se fait comme pour prendre les dérivées, et que l’exposant de Ax augmente d’une unité à chaque opération.
On a donc en général , pour n <^ /« ,
A".Ax m = A m ( m — i)(/n — 2). . .(m — n +1) ...
et enfin , pour n = m , on trouve
A’".Ax'" = Am ( m — 1) (m — 2) ... 3 . 2.1 .(Ax)” = à m jr,
quantité constante, comme nous l’avions annoncé, les termes suivants étant nuis.
Il est facile de voir que les termes de puissance inférieure Ax" 1-1 . . . cessent de donner des différences avant le ternie Ax"; c’est pourquoi nous ne nous sommes préoccupés que de celui-ci.
En nous arrêtant donc à cette différence constante A* y, quand, au contraire , m <^n , nous avons
y * — y a 4- " aj, h a ! j„
Mais si nous simplifions ce résultat au moyen de la valeur déjà trouvée de A™/,, nous obtenons enfin
-t- n [n — 1)... (/1 — m -pi) ( Ax )* 1 . A ,
formule dont nous tirerons bientôt parti.
06 . Après avoir exprimé j,, en fonction de/» et de ses différences consécutives , on peut réciproquement exprimer A"y„ en fonction des n -p 1 valeurs y , , y , , y , , . . . , y n .
Pour cela , remarquons que
= (71 — y< ) — Cr • — y* ) = — a /, *+• y « •
&y> — (r> — 2 r.'+r. ) — tr>— 2 r> + /.) = /> - 3j,+ 3/, —y.,
et ainsi de suite. On reconnaîtra donc par la méthode connue de généralisation pour les résultats de cette nature , que l’on a
A "jo~r n — n .r t a \Yn-t-
le dernier terme devant être pris positivement si n est pair et négativement si n est impair.
Ce développement peut encore se représenter par la formule symbolique suivante :
en changeant les exposantsen indices, et remplaçant l’unité pary, dans le dernier terme.
Cette formule nous donnera
4".i m =(i+«Aï)‘ — n [ x -t- ( n — 1 ) A x ]” , n(n— 1 )
Si nous développons et ordonnons le second membre suivant les puissances de Ax, en posant pour simplifier
ni
il viendra
A".x™= N,x"-t- '^-N,x"-' Ax m (m — i)
N,ar— »(Ax;)*-»-.. .4- N„(Ax)™.
Mais on a vu dans le numéro précédent que la moins haute puissance de Ax dans le développement de A", x" est (Ax)"; donc la
INTERPOLATIONS
fonction N a est identiquement nulle pour toutes les valeurs de a inférieures à /i (*). On a trouve d’ailleurs , en posant m = n , A’ 1 .x" = n(n — 1 )(« — 2 ). . .3.2.1 (ii)”, ce qui donne
N „=n(n — 1) (n — 2).. .3.2.1, puisque A". x m se réduit à N„(Ax)" pour m = n.
