Reprenons la formule

= y, -+- nSy,- f- A’/o -4- — “-5 A J r„-+-

•+■ n(n — i)(n — 2 )...(« — ni +i)(âr)*A ,

que nous avons posée à la fin du n° 88.

Cette formule, qui nous servira à séparer les racines d’une équation, et à les resserrer dans des limites suffisamment approchées, est due à Newton; mais il ne faut pas confondre ce procédé , basé sur les différences , avec la méthode due également à Newton et que nous avons étudiée dans les approximations successives.

Nous substituerons dans l’équation

y = o , ou bien Ax” -f- A, x”' -1 -+-...= o,

des valeurs de x équidistantes, d’abord d’une unité, c’est-à-dire que nous commencerons par prendre

Sx — I.

Si les racines ne sont pas séparées par des substitutions de nombres entiers consécutifs, pris entre les limites inférieure et supérieure, on fait des substitutions de dixième en dixième ; alors

On peut encore prendre

( * ) Par exemple ,

-K . .dz 1 as (1 — l)"

(Voir Nouvelles Annales, tome XIII, page 272.)

et ainsi de suite. 11 est bien entendu que l’on ne doit pas s’exposer à chercher des racines dans un intervalle où il ne s’en trouverait pas; on est guidé à ce sujet par le théorème de Stunn. D’ailleurs, dans la pratique , on connaît presque toujours l’ordre de grandeur de la racine que l’on cherche.

Quoi qu’il en soit, nous devons montrer qu’après avoir fait dans la fonction un nombre limité m de substitutions directes, on peut disposer avec les différences correspondantes un tableau qui donne, par un calcul très-simple, les résultats d'autres substitutions faites au delà et en deçà avec la même différence Ax.

Pour fixer les idées nous supposerons, comme nous l’avons dit, qu’il s’agisse d’une équation algébrique

Ax'"-H Ai-r” -1 = o ,

alors nous verrons que le nombre nécessaire de substitutions directes est le degré m de l’équation.

Nous prendrons pour exemple l’équation q 2 i

x' — jx 1 + - x’ x H = o ,

ou bien

dont nous avons déjà cherché une racine dans le n” 13 . Nous avons alors supposé , non-seulement que la séparation des racines était obtenue, mais aussi que la racine en question était connue à un centième près. Il faut voir maintenant comment on avait pu parvenir à ces résultats.

Changeons a: en — x, ce qui donne

70 x‘ -t-^ 0 ^ + gox’-t- 20X+1.

La règle de Descartes ( * ) montre que l’equation transformée n’a pas de racine positive , puisqu’elle ne présente pas de variation ; d’ailleurs il est évident qu’aucun nombre positif ne peut rendre nul le premier membre. Donc la proposée n’a pas de racine négative.

(*) Une équation ne peut avoir plus de racines positives que de variation de sq;ne d’un terme à l’autre.

INTERPOLATIONS

Nous pouvons mettre cette équation proposée sous la forme 70 x^x — 2) 4-tox (gx — 2) -t-i = o.

Alors il est facile de voir que 2 est une limite supérieure des racines positives de l’équation; en effet, pourx = 2, le premier membre devient positif, et pour toute autre valeur plus grande que 2, les facteurs x — 2,9a; — 2 étant évidemment positifs, ce premier nombre sera encore positif à plus forte raison.

Les racines réelles étant donc comprises entre o et 2, il n’y a pas lieu de faire un tableau suffisant en substituant des nombres entiers, et nous allons passer immédiatement à la substitution des dixièmes.

La différence quatrième, qui doit être constante, se calculera directement par la formule

A = 70, /i = o,i et h' = 0,0001;

donc

puis