et a' = o,i

Ensuite, pour trouver une différence troisième, il faut faire quatre substitutions directes dans l’équation

70 a-' — ^ox’+gox 2 — 201+1 = 0.

On posera donc les valeurs de x,

ce qui donnera

r» =I > Ti = — o, 233 , 7,= — 0,408, 73=— o,ti 3 . On en conclura

Ay 0 = — i, 233 , A , ^-,= i,o 58 et a 3 9-„= — o, 588 .

On connaît d’ailleurs

valeur constante.

D’après cela on forme le tableau suivant , comme nous allons le voir.

GO

CO

Nous avons donc obtenu , par ces quatre substitutions directes, la ligne horizontale

qui correspond à

xo , *\r t ,

et qui suffit pour trouver les résultats des substitutions de 0,4, o, 5 , etc.; voici comment il faut faire pour les obtenir.

Ajoutez

a'j 0 = 0,168 avec 4 J 7 ,= — o,* 588 ,

vous aurez

A 3 y, = — 0,420, que vous ajouterez encore à

(quantité connue par les substitutions), ce qui donne

Ajoutez encore

INTERPOLATIONS. 23g

(quantité également connue), ce qui donne

enfin , ajoutez

vous avez

^, = 0,2.32 pour x, = o,4- On ira ainsi jusqu’à

r„ = i pour xi, = i , en faisant toujours usage de la formule

4V,= 4 % +ia+ %’

qui provient de la définition des différences contenues dans l’expression

La séparation des quatre racines étant obtenue entre o et i , il n’y a pas lieu de faire remonter le tableau au delà de x = o; d’ailleurs on savait d’avance qu’il n’y avait pas de racine négative. Cependant, afin de montrer comment on pourrait faire remonter le tableau , si cela était nécessaire , au delà de la première ligne horizontale, nous allons calculer jr, pour x, = — o, i .

Remarquons que si l’on connaissait A 3 /, , on le retrancherait de pour avoir A*y i , que l’on sait d’avance être constant et égal à o, 168; on aurait donc

et réciproquement

A s /, = a 3 ^, — a‘/i = — 0,588 — o, 168 = — 0,756. Suivant toujours le même ordre oblique, on aura

en retranchant — 0,756 de A 1 /, = i ,o58, c’est-à-dire en ajoutant 0,766. De même i ,8 1 4 retranché de — i ,233, donne

2qO CHAPITRE SIXIÈME.

et enfin , — 3 , 047, retranché de /, = 1 , donne

On trouverait de proche en proche les lignes horizontales supé rieures, si cela était nécessaire.

88. Pour séparer les racines, si l’on n’y était pas déjà parvenu , ou pour approcher davantage de ces racines, il fai|t maintenant, comme nous l’avons indiqué, faire des substitutions dont l’intervalle soit dix fois plus petit.

Nous allons reprendre l’équation

et voir ce qu’elle devient quand on prend une nouvelle différence

le nombre a étant généralement égal à 10.

Nous supposons donc qu’entre les deux mêmes limites x, et x n = X qui donnent .les valeurs y t et y„ = Y, les substitutions soient maintenant en nombre n' = an ; les valeurs extrêmes X et Y de x et de y ne changeront pas ; mais les différences des divers ordres ne seront plus les mêmes, et d’abord la nouvelle différence de la variable indépendante sera

puisque l’on doit avoir

et que

X = x„-|- nAz = x, -b- n' y x , n' — an.

Ainsi, en changeant, dans l’équation précédente, n en an,

Sx en — > et en accentuant les différences des divers ordres, a

interpolations.

. a n (an — l ) ,

fii.r)"

+ un (an — i ) . f an — m+i) — • A .

Voici donc le problème que l’on doit sc proposer :

Connaissant les différences A , A’, A 5 , ... , fiti correspondent à une certaine valeur de A. r, trouver les différences A', A' 1 , A' 1 , . . ., </m correspondent h

Pour y parvenir, comparons la valeur précédente de Y à la valeur déjà connue

-4- n (n — l). . .(n — ffl+i)(ii)*.A.

Comme ces deux expressions de Y doivent toujours être les mêmes, quelle que soit la valeur de n, on identifiera dans ces deux développements les coefficients de toutes les puissances de n , ce qui donnera un nombre suffisant d’équations pour déterminer A', A' : , A' 5 ,..., en fonction de A, A’, A 1 ,....

Nous remarquerons d’abord que l’on trouve dans cette comparaison deux termes qui sont identiquement égaux: d’abord le terme indépendant de n, qui est r„ de part et d’autre; ensuite le terme de plus haute puissance en n , c’est-à-dire de m iimt puissance , qui est d’un côté

et de l’autre

( Ail* .

On voit que cela revient au même.

F,n égalant de part et d’autre les coefficients de « à la première

CHAI'ITBK MM1MK.

puissance , on :ir.ra

On anra en tout ni — i équations de cette nature qui détermineront A'" -1 , A'™ - ’, . . . , A'% A', en fonction de A" -1 , A”’ -5 , ..., A 7 ,, A. D’ailleurs , il est clair que

89. Nous ferons l’application de cette méthode aux équations du troisième et du quatrième degré.

Soit d’abord l’équation du troisième degré. Les deux développements déjà posés deviennent alors

A =;,+ niH 1 A ! -t- — i) (n — 2 )<î ,

, a. n [un — i ) ,

• un A H S t A

a tri (un — t ) (a» — ?,)c?

en représentant par S le produit ( A.r 'f. A qui serait ici ( A a-) 3 A. Nous aurons les trois relations

or A' 3 — A 3 ,

et la troisième

Mais si l’on veut exprimer A' en fonction de A et de A 3 seulement

1NTKRP0LATI0XS.

on trouve, en éliminant A'-’,

Si a = 10 , on a les formules i ooo A' 3 = A',

tooA ! = A- — = A 1 — b y,

,0 A' = A - -9 . i’ + HJi = A __ JL . £’ , Î32

qj

en posant y = 2 —

Passons à l’équation du quatrième degré, nous avons les deux développements,

Y =*+ nA + n {n --ïl + gjf -■■)(«-*)

an(a.n — I )(«« — ?. ) (« /i 3)

dans lesquels

On aura les relations

dont les trois dernières reviennent encore à

On pourrait éliminer A' 3 et A' 3 , afin d’avoir A' 3 et A' en fonction de A, A 3 et A 3 ; mais cela serait moins simple dans la pratique.

Si a = 10, ces formules deviennent

100 A' 3 = A 3 — A 1 +- ioo A H — ■ - ’