SPIRALES

lOo. On appelle ainsi les courbes qui font un nombre indéfini de circonvolutions autour d'un |)oint lixe. Il en «.'.\iste plusieui-s espèces, mais nous n'en considérenms (piedeu.v.

3l8 CHAPITRF, SKPTIÈME.

I, Spirale of. Conon ou d'Archimèdk. — Une droite tourne avec une vitesse constante à partir de la position initiale OA et du centre O [fig- 70) ; en même temps un point parti du centre O se meut sur le rayon vecteur mobile avec une vitesse aussi constante et décrit la spirale indiquée.

(On a supposé dans la figure un tel rapport entre ces deux vitesses, que le point mobile vienne en A après une révolution.)

Pour construire la courbe par points, il suffit de diviser une longueur donnée en parties proportionnelles à un même nombre de divisions prises sur une circonférence de centre O et de rayon arbitraire, sauf à établir convenablement la proportion. D'ailleurs, le rayon vecteur étant proportionnel à l'arc, l'équation de la courbe sera

p = rt w .

Dans le cas de la figure; soit OA =

fj = r pour d'où

r =z rt . 2 TT et ce qui fait que l'équation devient

on aura

L'inclinaison de la tangente est toujours donnée par la relation

tang(9 — co) =p -7-

Mais l'équation donne

«t il reste

tan-' f I? —

TIIFORIE DES COUnnKS PI.ANI.S. 3l()

ce qui montre que OA est la tangente à l'origine. L'angle 0 — o> «•tant toujours, comme on le sait, l'angle que fait la tangente avec le rayon vecteur, on a

tang(G-o,) = ^

Il faut observer «juc la courbe ne part point l)rusquenient «lu point O , |)arcc que Ton iloit aussi imaginer le m«)uvenicnt opén* dans un autre sens, ce(iui<lonne la combe ]>onctuée.

II. Spirale logaritiimiquk. — On ajipelle ainsi la courbe qui a pour e()uation

0 = (/", ou bien &> = logp,

dans un système quelconque [J/i^-. 71 ). Cette équation montre que Fig. -]!. l'origine est un poi/U (isy/n/jtotir/ue dont la

courbe s'approche ind«}finiment sans jamais le rencontrer, car ^ = o donne

fù = — co .

la construction par points est fond«'e sur ce que r accroissement de l'arc est proportionnel à celui (lu rayon vecteur, à partir d'un premier point une fois construit; en effet

dû = a" . 1 a . do) =r 1 « . p dot,

et il est clair «pie p d(^ est l'accroissement de l'arc.

Ensuite, l'angle 9 — w de la tangente avec le rayon vecteur (?tant toujours donné" par la formule

tang(0 — w ) = p

d (,> di

remarquons que ce qui donne

C^Aa

tang(0-«) = j-^; par conséquent, la tangente fait un ans;lc constant avec le rayon

vecteur, propriété très-importaqte et qui pourrait servir de définition géométrique à la courbe. ,

Nous énoncerons encore ce théorème remarquable, que la développée d'une spirale logarithmique n'est autre chose que cette même spirale qui a tourné d'un certain angle en gardant le même pôle.

Enfin la spirale logarithmique sera encore la projection sur la base d'un cône droit, d'une hélice conique tracée sur ce eône, c'est-à-dire d'une courbe à double courbure faisant le même angle avec toutes les génératrices du cône.

i07. INous allons étudier encore quelques courbes Iranscendantos qui se rencontrent assez fréquemment.

DÉVELOPPANTE DU CERCLE { fig . 72). — Ou voit , d'apiès Ic iiom

Fie- 7-

Logarithmique [Ji^ Fig. 73.

de cette ligne, que c'est la courbe obtenue en déroulant un fil à partir d'un point donné sur une circonférence.

Pour obtenir celte courbe par points, nous supposerons la circonférence divisée en un certain nombre de^parties égales, 12 par exemple, en prenant sur les tangentes correspondantes des longueurs égales aux portions de la circonférence. 70). — On appelle ainsi la courbe qui a pour équation

L'axe des j' est asymptote du côté négatif, car j: = o donne

On peut chercher le rayon de courbure au point A qui a pour coordonnées

y =z o et pour cela, remarquons que l'on a, en général,

' — f^ — i dx X

THKOniK DKS COURIIKS PLANKS. 39.1

ce (|ui , |)<iiir.r = i, donne

Ainsi , la tangente en A fait un angle de 45 degrés avec l'axe des .r. Pour trouver la position C du centre de courbure sur la normale, on pourrait laciUnient, comme on l'a vu (105, VI), transporter l'origine en A et changer la direction des axes suivant les bissectrices. Mais ici il est plus sin)ple de se reporter à la formule générale

on a déjà trouvé

ce qui donne

in-yr

et, par suite.

ensuite y" =

Ifi / = I ; ce cpii donne

R- m 2 ' = 8 et R = 2 y/â.

Soit donc

AB = OA = r ;

élevons jusqu'à la normale bissectrice la perpendiculaire BD = i, et prenons DC = AD, il est clair que AC = R. Le cercle oscnlateur passe au-dessus de la branche AR et sous la branche AS. SiNusoïnK (y?^. •j4). — C'est la courbe dont l'équation est

Fig- 74-

y- z= sma:.

On voit que .r = o donne 1=0,

donne

.r =r OC