III. Épicycloïde. — Si le cercle de rayon CO = r [fig

roule sans glisser, non plus sur une droite , mais sur un cercle de rayon OA ::= R, le point mobile partant du contact en O décrit une courbe qu'on appelle épicycloïde.

La figure montre comment on peut construire cette courbe par points, et trouver la tangente par le centre instantané de rotation.

IV. Nous ne chercherons pas l'équation générale de l'épicycloïde, mais il est clair qu'elle est transcendante, car c'est ce qui a déjà lieu pour la cycloïde, qui pourtant est un cas particulier de l'épycicloïde, quand on suppose R = ce .

Cependant l'équation de l'épicycloïde est algébrique quand le

rapport

est commcnsurablc.

Par e.\emple , si ;• = R [fig. 69), soient A le point de départ et M une position du mobile , de sorte que l'arc BM = BA ; «oit donc w l'angle en O et par suite en C, il est clair que AM est parallèle à OC.

Soit aussi AM = p, on voit que cette ligne est aussi divisée en deux parties égales, de même que OC,

THEOUII'. llKs IIM r.lil>>

parla taiij^cntf IJ w. Alors

mais le

triaiij

^le BOw

donne

Ow

cos w

cl (raill

ours

V cos f.)

d'où enfin

p = 2/- (i — cos w);

on reconnaît alors que cette épicycloïde n'est autre chose que le troisième cas du limaçon de Pascal , pour lequel

Seulement, la figure est renversée, et l'angle appelé w d'un côté est i8o — w de l'autre, ce qui change le signe du cosinus.

On peut imaginer des épicycloïdes raccourcies ou allongées , comme pour les cycloïdes ; les deux premiers cas du limaçon de Pascal rentrent dans ces espèces de courbes.

V. Au lieu de faire rouler le cercle mobile à l'extérieur du cercle fixe, on peut le faire rouler à lintérieur, ce qui donnera encore d'autres espèces d'épicycloides.

Nous considérerons en particulier le cas dans lequel le cercle mobile a un rayon moitié de celui du cercle ii\e, circonstance à laquelle se rapporte un problème que nous avons traité sur les caustiques. Il s'agissait alors de î'épicycloïde extérieure; mais si

/• = -R, l'épicycloïde rntérici/re se réduit à une droite: dans le

même cas, les épicycloïdes raccourcies ou allongées intérieures deviennent des ellipses. Nous laissons au lecteur le soin de chercher la démonstration de ces énoncés.