COIVSTRUCTIOK DES RACINES D'UNE ÉQUATION

108. I. On peut toujours obtenir les racines réelles d'une équation du quatrième ou troisième degré par l'intersection d'une parabole donnée et d'une circonférence.

Soit l'équation du quatrième degré, privée de son second terme, comme cela peut toujours se supposer,

( I ) H -+- px^ -I- qx 4- /• = o ,

et représentons par

[1) .r^=ay

THÉORIK UR5 COURBKS PLANES. 3?.3

la paraboU' tlonnce, ce qui fait que l'cquation (f) devient

(3) a^y'' -h px^-\- qx + rz= o.

En multipliant l'équation (2) par le coefficient indéterminé/., et ajoutant avec l'équation (3), on a

( 4) ^^J' -^ {P -^ ' ) ^' + q.r -\~ r =1 a Ij.

Si l'on pose

/? H- À = rt% ou >= fl- — p,

cette équation deviendra celle d'une circonférence

ay (a' — p) = a"j- -f- a' x- -h qx -\- r,

dont l'intersection avec la parabole déterminera les racines cherchées.

Quant à l'équation du troisième degré

.r^ -f- px -\- q = o,

on y introduit une racine nulle, en multipliant; par j: le premier membre , ce qui donne

.T^ -\- j)x- -\- qx = o,

et l'on rentre ainsi dans le cas précédent.

Les problèmes qui ont pour objet de trouver le côté d'un cube double d'un cube donné, de diviser un angle donné en trois parties égales, d'insérer deux moyennes géométriques entre deux droites données, se résolvent simplement par l'interseclion d'une parabole donnée et d'un cercle, parce qu'ils conduisent à des équations du troisième degré.

II. La construction des courbes facilite beaucoup la résolution

des équations transcendantes.

Soit en général

une équalion quelconque, X étant l'ensemble des termes positifs et X' celui des termes négatifs, et posons

on aura

324 CHAPITRK SKPTIKME.

pour tous les points dans lesquels y = f', c'est-à-dire que les racines de l'équation

seront données par les intersections des courbes qui ont pour équations

j — X et y = X'.

Considérons, par exemple, l'équation sin j: -f- 1^ = I, que nous pouvons mettre sous la forme

\x — (i — sin.x)=o,

ce qui nous donne à construire les courbes représentées par les équations

y =: \x vl J' = 1 — sin .r:.

Ces courbes ne sont autre chose que la logarithmique et la sinusoïde, déjà traitées au n" 107 ; on voit ici combien il est important de tracer les courbes avec exactitude , au moyen des tangentes et des rayons de courbure. Seulement, pour la sinusoïde, \i faudra transporter l'origine à une distance égale à l'unité , et renverser la courbe, ce qui ne changera rien à sa forme.

La réunion de ces deux courbes (yfg'. ■jS) fait donc connaîti'e

les points A , A', A" qui correspondent aux trois racines de l'équation donnée; il n'en existe pas d'autres, car l'ordonnée de la sinusoïde ainsi placée ne peut s'élever au-dessus de y = 2., et la logarithmique s'élève au-dessus de cette bande qui contient la sinusoïde.

La première racine est donc comprise entre

r = t et x = -

T1UC»RI1. DKS COURHKS l'I.ANKS. 3?.'

la seconde, entre