X ::= 7: et j; = — TT

et la troisiènie, entre

JT = - TT et ar:=:?. TT.

Les racines étant donc séparées, on pourra appliquer à chacune d'elles un des procédés connus pour les approximations successives; c'est ce que nous allons faire pour la j)remière. Nous poserons

:r = 1 + î- , et l'équation

sin j: -I- l r = I deviendra

sin I -f- £ COS 1 -t- £ r=: I ,

cose = I et sin s = »;

parce que de même

pour c très-petit.

Nous pourrions développer

cos = 1

mais il vaut mieux chercher l'expression a en degrés de l'angle tel, que le rapport de l'arc correspondant au rayon soit l'unité. Nous aurons donc

ce qui donne

En retranchant lo des logarithmes trouves dans la Table, on

aura

L sin I = I ,9250394 et Lcos i =r 1,7326362.

On en conclura

__o, 158528 I ,54o3o2 ou à peu près

Pour avoir une nouvelle approximation, posons

a = 1,1 et X = a + s' .

Afin d'introduire cette expression dans la formule, nous poserons

/(rt-t-e') = /.rt|i -hi\ — /n + l (i +-

ou bien, comme

puisque e' est très-petit, nous aurons enfin

Soit a' le nombre de degrés correspondant à l'angle ou à l'arc «, nous trouverons, comme ci- dessus,

«' = 63°i'3i", ce qui donne

L sin fl = I ,9499785 et L cosa = i ,6566706.

Quant à trouver la, nous remarquerons qu'il s'agit dans la formule de logarithmes hyperboliques. Il n'est pas nécessaire d'en avoir une Table, il suffit de connaître celui de 10, qui est

et l'on aura Comme

la =:: La ./ 10.

La = 0,0413927,

THtOUIK DES COURBES PLANES. Szn

On a (l'aillours troiivt'

sinrt = 0,891207 et cos« r= 0,453597 ;

d'où l'on tire

ce qui donne , à très-peu près,

On a, pour valeur de la première racine approchée à un millième près,

On trouverait de morne les autres racines.

On pourrait multiplier les exemples, mais celui-ci suffit pour montrer toute l'importance que présentent, au point de vue des calculs pratiques, certaines recherches telles que celles des points singuliers, des rayons de courbure. . ., qui ne semblent être d'abord que des objets de pure curiosité, mais qui sont indispensables pour déterminer la forme des courbes et donner une première solution graphique de certaines équations dont la discussion , purement analytique, serait assez difficile. Cette solution géométrique a surtout l'avantage de prémunir contre les fautes de calcul , en mettant sous les yeux le résultat véritable que les approximations successives doivent préciser, mais dont elles ne peuvent jamais s'écarter.

AXES PRIXCIPAUX DES SECTIOx\S CONIQUES.

109. I. Nous terminerons ces considérations sur les courbes planes en cherchant, dans le cas le plus général, la grandeur et la direction des axes principaux des courbes du second degré. Les ouvrages où l'on étudie ces courbes ne résolvent d'ordinaire cette question que dans le cas où les coordonnées primitives sont rectangulaires. 11 peut être utile d'effectuer cette transformation , même en partant de coordonnées obliques. On sait d'ailleurs que la solution de ce problème donne immédiatement tous les autres éléments des courbes, tels que foyers, asymptotes, etc.

328 CHAPITKK SEPTIÈME.

Prenons donc l'équation jjénerale des sections coniques

{ I ) «j' + b.ry + c.r- -H dy + ex +/= O ,

l'angle des coordonnées étant représenté par 0. Nous supposerons d'abord que la courbe a un centre dont les coordonnées sont j,', et j, ; on sait alors que, si l'on change a; en x + .r, et / en y + j, , pour transporter l'origine au centre, l'cquation devient, avec ces nouvelles cooidonnees parallèles aux premières,

(2) ay' -f- bxy -\- cjn- = H ,

en y joignant les lelations

Q.ae — bd

H= —f—l{dy, + e.x,).

II. Nous allons donc appliquer à l'équation (2) les formules qui servent à passer d'un système oblique à un système rectangulaire. Nous supposerons que l'angle 0 des anciens axes est un angle aigu; s'il en était autrement, nous changeiions y en — y, pour rentrer dans celte hypothèse. Les nouveaux axes font avec les anciens les angles a et a' = go" H- a , et nous choisirons, pour le nouvel axe des abscisses, celui dont la partie positive fait avec la partie positive de l'ancien l'angle a <^ç)0° (*).

En admettant ces suppositions, nous avons

X sin a -f- Y cos a X sin ( ô — « ) — Y cos ( Ô — a )

sin Ô sin 6

formules dans lesquelles X et Y représentent les nouvelles coordonnées.

{ * ) On prend pour parties positives des nouveaux axes les portions de ces lignes qui sont du même côté que la partie positive de l'ancien axe des ordonnées, relativement à l'ancien axe des abscisses. Par conséquent, k et a' sont toujours plus petits que 180 degrés dans toutes les trartsformations de coordonnées.

THÉORIK IJfS COURUES PLANES. 3:>.9

Nous devons donc identifler avec l'équation la [)lus simple des coniques à centre ,

le développement obtenu en substituant dans l'équation (2) les valeurs précédentes de x et j; nous déteiiuinerons a ainsi que A' et B'.

Ce dévelûpj)ement sera

fl sin' z

c sin' (0 — «

b sin a sin {6 — a)

X'-i- 2rt sin a cosa

— i c sin (ô — a) cos {6 — a) i sin (6 — a) cos a

XY-T- a cos' a

-1- c cos' [ù — a)

— b cosvAO — a)

\-—H^infj

' — cos(Ô — «) sinot

D'abord, pour faire disparaître le rectangle XY, il faut égaler son coefficient à zéro , ce qui donne

( 5 ) ^ sin (5 — 2 a ) = c sin 2(0 — a) — a sin 2a;

équation que l'on peut transformer de la manière suivante : soient

2(0 — a) = (& — 2a)-f-9 et — 2 a = (9 — 2 a) — d ,

nous aurons, en divisant par sin (G — ?-«',

b = c cos <3 -\- c cot (S — 2 a -(- a cosô — a cot (9 — 2a); ■doù

cot (9 — 2 a) =

(« -h c)cos9 — b

{a — c) sin 9

relation qui est également vraie pour cot (9 — 2 a) et pour cot (9 — 2 a').

Il sera facile de calculer la valeur de y. : si cot (9 — 2 a) ])> o,

soit il vient

2 y. — rf,

si cot (9 — 2a)<^o, soit

on a

33o CHAPITRE SEPTIÈME.

quantité toujours plus petite que 90 degrés. En effet, on a supposé Q<^go°, et (f est aussi aigu, puisque les Tables donnent toujours pour cet angle une valeur comprise entre cet 90 degrés. D'après cela, on calculera le coefficient

dans l'equation Y = niX du nouvel axe des abscisses; on aura de même, dans l'équation Y = w' X du nouvel axe des ordonnées, le coefficient

, sin a' CCS a

sin(0 — a.') cos(0 — a)

puisque

III. Après avoir obtenu la direction des axes, il faut trouver leur grandeur. Posons

nous remarquerons d'abord que, si l'on change le signe de tous les termes de l'équation (2), on change aussi ceux de 1 et de >.', mais non ceux de A' et de B^ Si donc les valeurs que nous trouvons pour A' et B^ sont positives, la courbe sera une ellipse; si elles sont négatives, la courbe sera imaginaire; enfin, si A- et B' sont de signes contraires, nous aurons une hyperbole ( *). Seule-

( * ) Nous laissons de côté le cas où l'on aurait H :=^ o. Alors il n'y a pas besoin de calculs, et l'équation (2) devient

nih

y en posant »?:=-; il en résulte

Par conséquent, la courbe se réduit à un point, qui est l'origine, si 6' — !\ac <:i^o; à deux droites passant par l'origine si 6' — t^ac'^ 0; enfin , ces droites se réduisent à une seule si Ir — /joc =0; mais ceci rentre dans le cas des paraboles, que nous étudierons plus loin.

TULORIE DES (H)URHKS PLANES. 33 I

ment, il n'y a pas de raison pour que les foyers se trouvent sur l'axe des abscisses pliilôt que sur celui des ordonnées.

Nous verrons bientôt que A' et B' sont de même signe ou de signe contraire, suivant que l'on a

mais nous nous contenterons d'énoncer le résultat suivant : soit

V = [b — {a -\- c)cose]'^ + (« — c)'sin^9 = [[a -f- c) — icosO]'4- (6'— ^ac) sin'O = (a — c)^ H- (A — 2a cos9) (* — 2CCOS0);

les deux valeurs de m sont

fl — czbP

et celles de ). sont

2 sin' G

en prenant de paît et d'autre le même signe pour le radical. Les valeurs de l que nous allons obtenir sont plus faciles à calculer par logarithmes.

En identifiant les équations (3) et (4), on trouve

a sin'a -+- c sin' (0 — a) -4- A sin a sin(9 — a) i

H sin^ Ô ' ~ A^'

ou bien

>sin-9 = a sin' a + csin=(9 — a) 4- & sin a sin(0— a). Mais l'équation (5) donne

r sin 2 ( 9 — a) — « sin 2 a b = 7 — rr— ^ '

sm ( 9 — 2a)

et la valeur de > sin' 9 se décomposera en deux parties, dont Tune aura le facteur a et l'autre le facteur c; la première sera

r 2 cosa sin(9 — a)"l —a sin' a sin 9 a sin' al ^ — ^ — • I = — : — 77 — r- *

I sm(9— 2 a) J sm{9— 2«)

car

De même la seconde sera

c sin^ (ô — a) sin 0

sin ( 6 — 2a) ce qui donne

, , csin'fô — a) — a sin'

sin 6 sin (6 — la.) On aura de même

a cos'a — c cos^ (Ô — a

^ ' sin G sin (9 — 2a)

soit en opérant directement sur le coefficient de Y% comme on vient de le faire sur celui de X% soit en changeant dans l'équation ("j) a en a' = 90° -}- a, et réduisant.

On peut transformer l'expression de >. en posant

c sin^(6 — oC) — a sin- a = a [sin''(6 — a) — sin- aj + (c — a)sin=(9 — a),

et en observant que

sin^ (ô ^ — a) — sin- a est égal à

[sin (9— a) — sin a] [sin(Ô — a) + sin a] = sin 9 sin (9 — 2 a).

Alors l'équation (7) devient

(c — a) sin' (9 — a) ^■^' ' sm9sm(9 — 2a)

Mais on peut aussi poser

c sin' ( 9 — « ) — il sin'- a =r f [ sin' (9 — a) — sin- a ]

-h {c — a) sin^ a,

ce qui donne

(c — a) sin' a

^ ' sm 9 sm (9 — 2 a)

De même l'équation (8) se transformera dans les expressions suivantes :

, , , (c — a) cos'(9 — a)

^ ' sin 9 sm(9 — 2«)

rHFORIK IIF.S C:OIIRBKS PI.XNFS. 333

uii bi(Mi

(c — a) cos'a

sin 0 sin(0 — 2«)

En résumé, on trouve a par l'équation 6), X par les équations (9) ou (10), et V par les équations (1 1) ou (12), sauf dans quelques circonstances que nous allons examiner (*).