RACINE CUBIQUE, ETC

416. On trouvera une règle semblable pour oblcnii', après les fi premiers chiffres d'une racine cubique, les n — 1 suivants. Nous devons commencer par indiquer la manière la plus sin;ple d'extraire une racine cubique, du moins au point de vue pratique; car il paraîtrait naturel , à chacun des chiffres que l'on obtient, de faire le cube de la racine déjà obtenue, et de le retrancher de l'ensemble des tranches correspondantes : mais , de celte manière, les calculs faits pour un chiffre ne serviraient point pour les suivants, et l'on aurait toujours à revenir aux plus hautes unités du nombre. Il faut donc imiter le procédé de la racine carrée en formant successivement les diverses parties du cube.

,>PPlUlXlMATI():tS MJMÉlUf^UtS. ^'^()

Soit il oxlraiic la liuinc riibitiiic du nombre

on voit d'abord en le j).irta^i'unt en tranches de trois uhiffie» di' droite à gauche, comme nous l'avons fait, que la racine aura cinq chiffres et que le premier sera la partie entière de la racine cubique de 82, c'est-à-dire 3 pour 27. La questif>n étant donc ramenée provisoirement à extraire la racine cubique de 32,977, si nous indiquons par a les dizaines et par b les unités de cette ra- , cine, nous savons déjà que a = 3o, puisque 3 est le chiffre des dizaines. Retranchons a^= 27000 de 32977, il reste 5977, nombre dans lequel il faut chercher

En divisant 6900 par Sa' =: 2700, ou 59 par 27, on a pour quotient

on sait, du reste, (|ue ce (juotient est qu«l(|uefois trop fort pour la racine.

Voici maintenant comment on peut former les autres [)arties du cube. Posons d'abonl

'6 a -\- Ij = 92 ,

et multiplions ce nombre par b ■=. 1 . ce qui fait

ajoutons 184 avec 'in'=z 2700, nous avons

in'-^onb + é- — 2884.

Imaginons que l'on multiplie encore cette somme par b =i 1 , il vient

3<7- A H- 3 ab- -f- y ,

cv. qui donne justement le reste du cube. D'ailleurs on n'est pas oblige d'écrire ce produit de 2884 par 2, et l'on jx ut, à mesure cju'on en trouve les chiffres, les rotranrlirr de '^•977. 'e qui donne pour second reste 20().

38o CHAPITRE HUITIÈME.

Il faut insuilc diviser 20g3 par le tiij>le carre de 3:.'. (jne l'on peut encore obtenir très-simplement en posaril //' .= 4 ^"l's 288/], et en faisant la somme des trois nombres 184, 2884 et 4 ; c" cflet, cette sonnne donnera

{3ah -h b') + {3(r-^ '6 ah + b)-¥h' = 3 rt' + 6 «^ -f- 3 6= = 3 (rt 4- /.< )•'.

On voit comment on conlinuera le calcul dont voici le tableau :

3o843oo3o4

Le nombre 2093 ne contenant pas le diviseur 3o-2, il a fallu abaisser immédiatement une tranche de plus, et ajouter deu.v zéros à la suite du triple carré; alors 2093402, divisé par 307200 a donné 6 pour quotient, et l'on a continué de la même manière jusqu'au dernier reste qui est nul , ce qui montre que le nombre donné est un cube parfait.

Quant aux nombres 9606 et 96188, on les forme de la même manière que

Za -\- b = 92.

On peut donc poser la règle suivante :

Jprcs avoir extrait la ravine cubique de la première Ir anche à gauche et soustrait de cette tranche le cube de cette racine , abaissez

appuommvtions MuiKniours. ."^Mi

1(1 tranche sitivanlr , sr/jtinz /rs ticux (Icniirrs clti(frts du nniului ainsi forme et ditiscz la partie restée à gauche par le triple cajn des dizaines. ]\Jitlli filiez ensuite par le (juotienl (jui représente les unités de la racine déjà obtenue, un nombre composé de trois fois les dizaines plus 1rs unités , ajoutez ce produit à trois fois le eam du nombre des dizaines, suiri rie deu.v zéros, multipliez encore cette somme par les unités rt retranchez ce nouveau produit du reste, suivi de la tranche que Cori a abaissée. Pour trouver tr diviseur suivant , (jui doit être le triple carré de la racine déjà obtenue , il suffit (f écrire le carré des unités sous les portions déjà connues idce diviseur, qui se trouvera en ajoutant ce carré avec les deux nombres supér-ieurs.

Ayant ainsi obtcnsi le triple carré des nouvelles dizi.incs relatives à la racine qui correspond à une tranche tle plus, on continue le calcul (le la même manière.

II. Voici maintenant comment on peut, connaissant les n premiers chiffres d'une racine cubique, trouver par une simple division les n — I suivants.

Nous supposerons encore que a et b représentent les deux parties de la racine, en sorte que b doit avoir n — i chiffres et a , déjà connu, a n chiffres significatifs suivis de n — i zéros, en tout -y.n — I chiffres. De cette manière « -f- ^ est la partie entière de la racine cubique du nombre ?; , de sorte que

lS=(a -^ by

on en conclut, eu |)Osant IN — r7=R, quantité connue si l'on a opéré par le procédé ordinaire ,

R , liab' -\-b- + r

Pour voir nuelle valeur peut atteindre la '^luautite — ; •>

' Sa-

]M"enons le cas le plus défavorable, celui où l'on aurait

il est cliiir cjiralors /sera maximum. On trouve, dans cette supposition ,

N =(rt + l,Y-h3{n-h by-h 3ffl 4- b), ce (]ui donne

r =3(a -h by -{- 3 [a -h b ) ^^ 3 a- -h 6 ab + 3 b- -h 3 a 4-36, et, par suite ,

3ab'-hb^-hr 3ry (/; H-ij^-f- (/^ -4-iV^ — I

On a donc enfin , au maximum ,

R ,^ ^{b-hiy . {b+i]

ce t|ui prouve (|uc l'on peut quelquefois avoir le quotient en excès b+'..

Mais, outre cela, nous avons vu, à propos de la question analogue relativement à la racine carrée (lio, V}, qu'il est possible,

a la limite extrême, d avoir = i. Cependant, comme ce

fait est tout à fait exceptionnel , nous le laisserons de côté et nous considérerons qu'en général b -\- i n'ayant que n — i chiffres, (è-f-i)'n'en a que 2 « — 2, tandis que n en a 7.n — i. A plus torte raison [b -i-i)'<!^ «% donc la dernière fraction est de beaucoup inférieure à l'unité.

On peut donc généralement admettre que les n — i premiers

chiffres du quotient - — donnent pour valeur maximum b +i, o a- '

De là on conclut la règle suivante:

Soit R le reste obtenu en retranchant du nombre le cube des n premiers chiffres de la racine^ et divisez R par le tiiple carré de cette racine déjà connue; les n — i premiers chiffres du quotient sont les n — i chiffres suivants de la racine.

Nous appliquerons cette règle à rexemplc déjà traité. \ln cher-

M'i'KOXlM VTIurïS mJMTiuMjUfS. 383

cliiiiU la iMcinc cubaine do 32.1)77.340.218.432, nous av(Mis iroiivé 320 pour les trois premiers cliirfrts <!(' la racine, et le reste il , uhlenii après avoir soustrait le cube de 3 'O tle l'ensemble des trois premières tranches, était 2093402 18432. Il faut donc diviser ce nombre par le triple carre de « = 32<'00, c'est-à-dire par

On verrait facilement (jue le (p.U)tieiit donne des dizaines, comme cela doit être ; mais [)nis(iue nous ne chercluuis que ticux chiffres, ou plutôt trois, afin d'effacer le dernier, il suffira 114, V) de prendre aussi trois chiffres au diviseur, et quatre au dividende. Voici la division abre[j;ee qui donnera les deux cliiffies demamhs,

On obtient donc exactement les deux cluflres GS de la racine , mais ce procède ne fait évidemment pas connaître que le nombre est un cube parfait.

Nous avons vu qu'on trouve souvent ainsi un quotient en excès ; on pourra donc quelquefois ne j)as forcer le dernier chiffre conservé, même s'il est suivi d'un 5 ou d'un chiffre siq^érieur à 5.

Enfin on comprend comment cette msthode s'applique à des nombres décimaux.

III. Comme relation entre l'erreur i d'un cube ou ilune puissance quelcon()ue et l'erreur 0 de sa racin«, nous avons la formule

dans laquelle m représente l'indice de la puissance et qui se rétluit à z-=:mao, en supprimant les puissances supérieures de 0.

Connaissant la nature des plus hautes unités de a , on emploie cette fornmie pour trouver, dans chaque circonstance, la valeur de £ en fonction de 0, et réciproiiucment; ou, pour mieux dire,

la relation qui existe entre les espèces d'unités de ces deux erreurs. Mais il serait assez difficile d'en conclure une règle applicable à toutes les valeurs de m , pour comparer le nombre des chiffres significatifs exacts de la puissance et de sa racine , parce que, d'un côté, le nombre des chiffres s'accroît d'une manière variable suivant la valeur de w et celle des premiers chiffres (c'est ainsi que 8, cube de ?. , n'a qu'un chiffre , et que 72g, cube de g, en a trois), et que, de l'autre côté, le coefficient m dans l'expression E = jnarJ augmente l'erreur de la puissance.

IV'. Pour comparer les erreurs respectives d'une puissance et de sa racine, quant au nombre des chiffres significatifs exacts, la méthode la meilleure, quoicpie assez indirecte, consiste dans la coiîisidération des logarithmes de ces quantités; on sait, du reste, que les extractions de racines se font presque toujours, dans la pratique, à l'aide des Tables de logarithmes.

Or l'usage de ces Tables montre que le logarithme de la puissance et celui de la racine ont le même nombre de chiffres exacts, et qu'il en est de même, par conséquent, pour ces deux quantités elles-mêmes. Nous admettons , à la vérité, que les Tables soient calculées avec autant de décimales qu'il en faut pour que le derniei" chiffre du nombre donné influence le dernier chiffre du logarithme correspondant; mais c'est ce qu'il est toujours possible de supposer en théorie, quelle que soit d'ailleurs la véritable approximation des Tables. On peut donc conclure de là ([ue la puissance et sa racine ont le même nombre de chiffres significatifs exacts.

V. Nous devons cependant observer, comme restriction à ce principe, que le calcul pur logarithmes donne plus de précision quand on cherche la racine au moyen de la puissance, que si l'on cherche la puissance au moyen de sa racine. En effet, dans le premier cas, on divise le logarithme par l'indice de la puissauce, ce qui diminue Teneur, tandis que, dans le second , on multiplie par cet indice, ce qui augmente l'erreur.

VI. Dans toutes ces théories d'approximation, nous n'avons presque jamais distingué le cas où l'erreur esl , soit en défaut, soit

APPROXIMATIONS NIMKRIQI T.S. 385

•en excès; vn effet, on n'ni sait souvent rien, suiloul dans les données de la piivsiqni; et de la rliimie, et nons avons toujours voulu permettre au calculateur d'opérer dans le cas le plus général et le pins défavorable. Aussi, nos formules s'appliquent à toutes les valeurs positives on négatives des erreurs ou des approximations.

\i»lM.I(..\rl0^s

il7. Outre les exeu<ples que nous avotis donnés pour les opérations approximatives, nous allons présenter encore quelques applications des théories ])récédenles.

I. Trouver le (junticiit de lo- par o,6g3l47i8. . • avec une erreur relative moindre qu'un niilliènie.

i Dans une multiplication ou ime division l'erreur est toujours supposée relative au multiplicande ou au dividende, parce que le multiplicateur ou le diviseur sont toujours supposés abstraits.)

On reconnaît (lii,! que le quotient n—ir contient

des dizaines qui sont les plus hautes unités; la formule a = A /• ('lll, IV], dans laquelle /• = ? montre que l'erreur abso-

lue « se représente par . il faut donc (110, II) calculer le

' lOO'

quotient à un millième près et garder les centièmes.

Le calcul est lait selon le procédé de la division ahrége. ( 1 14, II) ; on s'est seulement dispensé d'écrire les produits partiels. Ainsi, le résultat cherché est {5,3::'.

ir. Obtenir - avec lo dcciinales. [On en calcule 1 1. )

lOOOOOOOOOOO

3io5836

3tiji5ga65^5 | 8979. . .

III. Cdlculcr I iZr: jusqu'aux cent-millièmes. 3,i4i5q265'3 6...

3 54,99998 Ainsi, I i37r = 35. j ,99998, ou bien ii37r=355.

IV. Calculer iott.io y 2 avec une approximation relative de un millième. — Comme les plus hautes unités du multiplicande iott sont des dizaines, on cherche l'approximation absolue à un centième près, et on calcule les millièmes. 3 1,4 I 5 9 2 6 I 2 4 ' 4 '

AI>PIIC>,\IMATI()?(S M MI.RIOUKS.

\. yérifivr la valeur y/?, z=: i ,z^i42 i 35<)?373.