i> CHAPITRE HUIÏli.IttE
Pdiir trouver S , il faut donc poser
AS'-h E5 ^ G,
ce qui montre ((ue o' étant négatif, ô sera positif; ainsi ht sera calculé i/i défaut.
^îais, quant aux valeurs numériques,
A = 3,1 tt R=:o,3i
:Brî,
«roîi
et j
Puisque
(m peut ]>osei
Q z=: o ,oooo5,
c'est-à-dirti que l'on ne devra compter que quatre décimales exactes en divisant i par o,3i83i ; mais en réalité il y en aura une de plus, car le quotient est 3, i4 1591, résulta,t en défaut comme cela doit être, mais seulement à la sixième décimale.
VII. Afin de ne rien néglij;er sur cette question, nous allons calculer directement un exemple de division abréger?, et nous en ferons ensuite la preuve en cherchant la multiplication abrégée correspoTulante.
On demande à un dix-millième près le quotient de 229,4703568 par le diviseur 7,3594, supposé exact; il faut donc calculer les cent- millièmes.
Il est facile de voir, par la nature des premiers chiffres du dividende et du diviseur, que le quotient aura deux chiffres entiers, ce qui, avec cinq chiffres décimaux, fera sept chiffres que l'on devra aussi prendre au diviseur, qui n'en a que cinq. Mais, comme ce diviseur est ici supposé exact, on y ajoutera deux zéros , et l'on fera l'opération suivant la règle connue ;
APPKOXIMATIONS NUMKRIQUES.
229,47035 j 6i8 1 7,35fl'f<J<»
Voici le tableau de la multiplication abrégée correspondante :
7359^00 85o8ii3
La vérification se fait exactement, car on a forcé le dernier chiffre utili' du dividende, parce qu'il était suivi des chiffres 68.
On sait que c'est le diviseur qui doit scn>ir de multiplicande pour retrouver la formation des mêmes produits partiels: de plus, comme le premier chiffre du diviseur a été obtenu par le diviseur tout entier, il faut mettre le premier chiffre du quotient sous le dernier chiffre utile du diviseur; on obtient pour produit
ia partie utile du dividende.
3^2 CHAPITRK llUiriF.MK.
VIII. Outre le prot'fkié que nous venons d'exposer pour la division ahrégéo, il en existe quelques autres, un surtout, eonnu sous le nom de inéthottc de Fouricr, ou division ordonnée ; niais nous le passerons sous silence, parce que ce procède, d'ailleurs fort ingénieux , j)résenle cet inconvénient que le calcul, d'abord assez simple, se eompli(|ue à mesure ([ue l'opération avance, ce qui fatigue l'attention et est contraire à la marche naturelle de l'esprit.
u.\(;i\L cvnKLii. ilo I. On a
£ zn (>/ + rî )* — a- =ia!l -Jr S\
en représentant par 'î et par s les erreurs riespeclives d'une quantité quelcompie et de son carre; on aura donc, en négligeant 3-, la relation
z r= 2 <■/ fj ,
entre ces erreurs ou plutôt entre la nature de leurs unités.
IMais nous indiquons seulement cette relation comme pouvant servir à vérilier le principe que nous allons énoncer, et que nous démontrerons ])ar le jirocédé de la multiplication abrégée.
Une quantité ap/jroc/iée et son carré ont le même nombre de chiffres significatifs exacts.
On conclut facilement des relations établies (115, VI) entre l'erreur du produit et celles des facteurs, que, si l'on doit multiplier deux facteurs qui ont le même nombre de chiffres significatifs, la méthode la plus avantag(u<;e consiste à les disposer de manière qu'ils se recouvrent exactement , puisque alors il n'y aura pas de chiffres perdus dans les facteurs. Ainsi , on obtiendra le carré d'un nombre avec la plus grande approximation possible, par la méthode abrégée, si l'on fait en sorte que ce nombre, pris comme multiplicande, recouvre le même nombre pris comme multiplicateur et renversé.
Cela posé, il peut se présenter deux cas : dans le premier, le produit a autant de chifïres que le multiplicande , comme l'indique le principe énoncé; c'est ce qui arrive , par exemple, si l'oa
APPROXIMATIONS NUM tniOUKS 3" J
fait le cirii- ilc a, 23, vv ()iii (liiiiiic Ir ralcni siii\.iiii
4,9^1 au lieu (if 4 )')72m
Dans le secoiul cas, le produit a un cliiHic de plus que le nudliplieande si les chillrcs snperieuis donnent une retenue; i est ei' qui arrive quand on elierehc le carré de 70,4-
5836 au lieu de 5836,96.
Mais la foi uuile
uiouire que l'erreur atteint alors un chilTre de plus. En effet, pour que e soit d'un ordre plus élevé cpie 0 , il faut que l'on ail 2 6- ^ 10 , et l'on reconnaît sans peine que c'est ce qui arrive si la racine a est de nature à donner un cUiffrc de retenue a son carré. On peut donc conclure, d'une manière générale , le principe énonce. A la vérité, le dernier ehilfre de la racine étant exact, celui du carré j)eut bien ne pas l'élre, comme on le voit dans les exemples précédents, où le dernier chiffre du produit est tantôt trop fort, tantt)t trop faible ; mais c'est ce qui [)eut avoir lieu dans tous les calcids, et il en serait de même si l'on cherchait récipro- (piement la racine carrée d'une quantité quelconque.
II. On remarquera, d'après c«; principe, que des tranches de zéros prises à la droite d'un nonibie peuvent quelquefois donner à sa racine les mêmes chiffres (pie donneraient, si on les coruiaissait, les véritables décimales du nombre propose.
C'est ce qiti a lieu quand on ilieiihe la racine carrée de
TT = 3, i4 i6 ,
donné avec quatre décimales : on trouve d'abord un chiffre entier et deux cliiffres décimaux; ensuite, pour avoir les deux chiffres suivants, il faudra abaisser encore deux tranches de zéros qui conduiront au même résultat que les véritables décimales du nombre tt , si on les avait employées. On trouve, de cette manière,
mais nous nous sonnnes dispensés d'écrire le calcul , «pii n'exij^c aucun pixtcédé particulier.
Cherchons encore la racine carrée de 0,00047806 ; on doit, avant tout, reconnaître la nature des plus hautes unités de la racine, qui seront ici des centièmes , puisque le premier chiffre du nombre est celui des dix-millièmes; on trouvera donc , pour la racine cherchée, o, 021 864 > '' "" millième près, en abaissant encore deux franches de zéros.
111. Le principe connu (I) nous permettra de résoudre le problème suivant :
Trouver l'approvrtmntion de la racine carrée quand on connaît celle du nombre.
On cherchera cette racine avec autant de chiffres qu'il y en a dans le nombre, dût-on abaisser plusieurs tranches de zéros; seulement , d'après la nature des unités supérieures , l'approximalion de la racine sera plus grande ou plus petite que celle du nombre. On résoudra de même le problème inverse, ainsi conçu :
67 ton demande la racine carrée avec une approximation donnée , avec quelle approximation faudra-t-il chercher le nombre?
On le cherchera avec autant de chiffres qu'on doit en avoir à la racine.
Si néanmoins on ne pouvait obtenir ce nombre avec autant de chiffres que celte règle l'exige, on ne pourrait trouver à la racine l'approximation demandée, et il faudrait eu revenir au premier
Ai'i'nd.MMA lions MJMriVKji i.s.
))iol)loiiit' |)()ur tli'loriiiiiicr ra|»[)iu\iiii.ili(iii j'ussibln a la i.u-.ifn , d'après colle oC» l'on s'arrOlo dans l'oxprcssiDn du nondirr.
IV. En dehors dos considérations prccédcntes , voici un ili< ,irùnu: qui porinol do simplifier rexliaction do la racine carrée :
Jprès avoir obtenu par le pmcédè ordinaire les n premiers chiffres dUine racine carrée , retranchez du nombre donné le carré de I es n premiers chiffres , et divisez ce reste par le double de ces !t chiJ/ri'S , l'ous aurez pour t/uotieni les n — i chiffres suivants de . ht racine.
Nous supposerons, comme on peut, toujours le faire, (|ue toui ces chiffres forment rensemble des chiffres enlitvs de la racine.
Cela posé, soit N le nombre dont on chercMie la racine; soient a la première partie de cette racine, et b la seconde, compqséw de // — I chiffres, de sorte que a contient n chiffres significatifs et /i — I zéros, en tout o. n — i chiffres. Nous pourrons donc poser
N.= [a 4- by 4- r = «' + y.ab -h b' -{- r.
D'après la règle qu'il faut démontrer, nous devons prendre le
reste
N — rt' = R ,
ri nous remarquerons que ce reste est connu quand o:i a opéré par le procède ordinaire. On a donc
~z=:b ^'-~' •}.a la
K-x. il S atîit devaluci la fraction •
'^ -xa
Il faut démontrer que cette fraction est toujours' inférieure a
deux unités. Pour cela, remarcpions que le cas le plus défavo-
lable, celui dans lequel r est maximum , a lien quand i + N est
le carré de a -4- ^ + i , puisque N est un nombre entier dont la
racine a pour partie entière a + b, ce qui donne pour limilc
extrême
Nous aurons alors
3^6 EHAl-lTRE HUITIEMK
et, par coiisccjiienl ,
la traction — - — deviint donc ■2 n
la
Ainsi, cette fraction |)eut être plus grande que runile, mais i( iaut prouver que l'on a toujours
Pour cela, nous remarquerons que h et ù -\~ i sont des nombres de N — I chiffres , ce qui fait que ( i -H i)' en a 2« — 2 au plus , tandis que dans rt, et à plusforle raison dans2«, on trouve 7.n — i «liiffres.
On peut iiiènic faire voir (pic
( b -\-iY— i ^ 1
En effet, dans le cas le plus défavorable où serait
maximum, il faut concevoir (jue b présente une série de 9, de
sorte que b -+- 1 soit une puissance de 10. Nous prendrons, pour
fixer les idées, // = 3 ; alors
Zi = 99 et Z* -i- I = 1 00 , ce qui donne
[b -h j)- = loooo.
Alors le minimum de a , pour prendre toujours le cas le plus défavorable, sera
ce qui est le plus petit nombre de 2« — 1 = 5 chiffres ; par consé- (juent,
pour limite extrême.
APPROXIMATIONS NUMKHiyi,K.S. i""^
Lu l'csuiiH-, nous voyons (pu' le (|iioticiU est «•^al .1 0
«m à b -{-i, c'est-à-dire ((n'il donncni , en effet , les « — 1 cliiffies suivants, à une unité près.
Comme application , nous cheielieions la racine carrée de 2 avec douze décimales; nous en trouverons d'abord six par U- procédé ordinaire :
^ious avons écrit ce calcul pour montrer comment se forme le reste N — fl' = I\ , qui est ici 1 59063 1 .
Maintenant , pour disposer la division le plus simplement possible, nous remarquerons que, si nous voulions avoir seulement un chiffre de plus, il faudrait, suivant la méthode ordinaire, abaisser deux chiffres (ici deux zéros) à la suite de iSgoôSi , et en séparer un, ce qui laisse le nombre 1 5906310, que l'on doit diviser par le nombre obtenu en ajoutant 3 à 2828423 ; on a ainsi
la = 2828426 ,
c'est-à-dire le double de la racine déjà obtenue , qui n'est autre
que le diviseur demandé. Ainsi, la seule différence entre le pro-
cédé ordinaire et la division de , c'est que , dans cette der-
nière opération , on cherche n — i chiffres au lieu d'un seul, mais
le dividende et le diviseur sont les mêmes dans les deux calculs.
Voici le tableau de la tlivision abréi^ee (jui donne ces n — 1
chiffres , ici au nombre de six , puisque nous en avons déjà obtenu
sept.
3'y8 CHAPITUK HUIÏIKMJ;.
• 5906310 I 28'iH.f'^(i
Nous nous SDinmes dispensés de former les produits partiels , < ( nous avous fait en même temps les multiplications et les soustractions. INous avons calculé sept chiffres^, autant (pi'il y en avait au diviseur; mais le dernier chiffre 2 du quotienl doit être effacé, et donne seulement à penser que la racine n'a pas été obtenue en excès.
On trouve donc enfin
Si l'on cherchait la racine carrée par les logarithmes , connue on le fait souvent dans la pratique, cette simplification serait beaucoup moins avantageuse, parce qiC'd faudrait alors former n' et la retrancher de N, opérations qui sont faites d'avance quand le calcul a été commencé par le procédé ordinaire.
