Prenons pour exemple l'équation

qui n'a qu'une seule racine réelle , comprise entre 2 et 3.

Posant

on. a l'équation transformée

(|ui donne

et, par suite, On en conclut

d'où l'on tire

f'(piation dont la racine sera encore comprise entre 1 et 2.

Rn coniinuanf ainsi, on trouve

lo H

ce qui donne les réduites suivantes

l lO

Ainsi —j- est plus grand que la racine, et l'erreur est moindre que

rr; on peut donc poser

X = 2,09455. 21. Il peut se présenter dans l'emploi de cette méthode un fait remarquable et qui abaisse le degré de l'équation. S'il se trouve, parmi les équations transformées que l'on obtient dans ces approximations successives, une équation identique avec une de celles qu'on a déjà obtenues, il est clair que les mêmes quotients incomplets se répéteront périodiquement , ce qui permettra d'arriver à une approximation indéfinie. Mais de plus on obtiendra la forme même des racines , grâce à ce théorème :

Une fraction continue périodique a pour valeur une racine (tune équation du second degré.

Considérons d'abord une période simple , c'est-à-dire qui commence au premier quotient incomplet, nous aurons

a -h-ro

AI'l'Ut)\lMAT)ONS SUt'.CESSlVES. S'J

On sait que -— = — —,, et comme le résultat sera exact en

remplaçant /• par r H — •> puisque la fraction se répète après/'.

nous aurons

Ql'-+ll+/' (Q,. + ^):. + Q

Q.(.+ iU/ «5''+"')- + 'J'

Rx 4- Q R' » +Q''

ce qui donne l'équation

Soit maintenant la période mixte

fi+-. ^ I

rt-1— î —

et soit

En représentant pai' — la partie non périodique

et par — la réduite précédente, nous aurons

valeur dans laquelle y est connu par un radical du second degré, ainsi qu'on vient de le voir.

On fera disparaître facilement le radical du dénominateur; car ce dénominateur étant de la forme y//n -4- //, il suffira de multiplier haut et bas par sjni — n; donc x résultera aussi d'une équation du second degré.

Ainsi , le théorème étant démontre d'une manière générale, la fraction continue périodique conduira à une équation du second degré dont les coefficients sont rationnels. Cette équation et la proposée ayant une racine commune, leurs premiers membres ont un commun diviseur : or, ce commun diviseur ne peut être qu'un facteur rationnel, puisque les coefficients de l'équation proposée sont commensurablcs, et d'un autre côté les deux facteurs de l'équalion du second degré qu'on a obtenue sont irrationnels, puisqu'on suppose toujours que l'équation proposée est débarrassée de ses racines commensurablcs; il faut donc que le premier membre de cette équation du second degré soit lui-même un facteur de l'équation proposée. Ainsi, on connaîtra immédiatement une seconde racine, et, en effectuant la division, on n'aura plus à considérer qu'une é(juation dont le degré sera inférieur de deux unités au degré de la proposée.

22. Nous ne pouvons nous arrétei- à discuter les deux racines de l'équation à laquelle conduit une fraction continue périodique, ni à démontrer le théorème inverse du précédent, qui consiste en ce que toute racine d'une équation du, second degré à coefficients coinincn^urablcs se développe en fraction continue périodique , mais nous énoncerons quelques résultats très- simples de cette nature, et (jiii pouriont être utiles dans certains calculs.