VII. Enfin , — approche de la valeur de r , non-seulement
plus que la réduite précédente, mais/p/wv que toute autre fraction
ni
— ^j exprimée en termes plus simples. En effet, supposons que
— approche plus de > que — et, a plus lorte raison, que — :
comme .r est compris entre — et —, il en sera de même pour
— 1 et l'on devra avoir, abstraction faite du signe, m'
F ~ w ' ^ Q' ~ F ' ou bien, à cause de QP' — PQ' = i, cela revient à Vm' — V'm ^ i
Mais Pw' — p' /« estai! moins égal à l'unité, et l'on a supposé /»'<^Q'; donc l'inégalité précédente est impossible, ce qui démontre le théorème.
34 CHAPITRE DKUXIKME.
iO, Maintenant il sera facile de concevoir le parti que Lagrange a pu tirer de ces propriétés.
Soit y (.r) = 0 une équation dans laquelle les racines sont séparées; nous considérerons seulement les racines positives, car, pour trouver les racines négatives, il suffira de changer r en — x et de calculer les racines positives de la transformée qui seront les racines négatives de la proposée.
Il faut maintenant faire en sorte que les deux nombres qui comprennent la racine cherchée soient deux nombres entiers qui diffèrent entre eux d''une unité. Supposons, pour fixer les idées, qu'ils diffèrent d'un centième, et que la racine x soit comprise, par exemple, entre
.r, = 3 , 25 et ^-j = 3 , 9.4 •
Posons dans l'équation donnée
X z=. , d ou z = iooj:,
nous aurons une équation transformée y(z) = o dans laquelle la valeur correspondante à celle de x que l'on cherche sera comprise entre
Z| = 325 et Z2 = 324»
et ces deux limites satisferont aux conditions posées, tandis que 3 et 4 pourraient contenir d'autres racines, outre celle que l'on considère.
Nous pouvons donc admettre dorénavant que la racine est seule comprise entre « et « + i , le nombre a étant entier. Posons donc
.r = « H — •, on obtiendra une équation tranformée en j qui n'aura
J quune seule racine réelle et positive, puisque l'équation proposée n'avait qu'une seule racine entre a c\. a -\- i . On cherchera les deux nombres entiers b eX. b -{- i qui comprennent cette valeur de j^,
et posant y -z= b -\ ■, on obtiendra une équation en z sur
laquelle on répétera les raisonnements précédents, ce qui don-
APPROXIMATIONS SUC.CKSSIVES . 35
et ainsi de suite. On aura donc
et l'approxiination pourra être poussée aussi loin qu'on voudra. De plus, les propriétés des réduites permettront d'avoir le signe et la limite de l'erreur.
Cette méthode n'est pas d'ordinaire très-expéditive j cependant, si les quotients incomplets sont considérables , on voit, d'après la formation des réduites et la mesure de l'erreur, que l'approximation peut croître assez rapidement.
