APPROXIMATIONS SUCCESSIVES

ce qui donne

Par exemple,

III. Enfin , soit à développer x = \/a''+ i; on a «'<«'+ 2<(a H-i)% puisque o ]>• i . Donc

« <^ \/rt-H- 2 <^ a H-i et \jn''-^i = n-\

Par conséquent

- =z <Ja'' -\- 2 — rt

I v/«' + 2 H- rt

v/aM-2 — a 2

D'ailleurs

2a<:^V^i3^+24-rt<^2«+I,

ou bien

ce qui donne

I 1 sja'' -h 2 -+- « v^rt- +2 — « y =. a -\ — et -= « = •

On a donc

z = = v'rt' H- 2 -f- rt

y «■ -f- 2 — rt

et, par suite, d'où l'on tire

CHAPITRK HEUX1EMK.,

2 = 2 rt H 1

- = 3 — 2 fl = J a u

Lii valeur chereliée est donc

2 rt 4- . . .

Nous prendrons eoinnie exemple

23. Nous avons déjà exposé les méthodes de Newton et de Lagrani^e pour obtenir par approximations successives les racines d'une équation alij;éljriqiie ou même transcendante. On parvient au même résultat parla méthode des parties proportionnelles cjuc l'on appelle encore règle de fausse position , et ce procédé est même un de ceax qne l'on emploie le plus dans la pratique.

Cette méthode consiste à supposer f|ue les accroissements de la fonction sont proporiionnels à ceux de In variable. Soit

et cherchons la racine x^ telle que ro=/'(a-o) = o; en admettant que cette racine soit la seule comprise entre x, et-r^. Posons

r, —/(.!-,) et j2=/(.T,};

nous devons admettre, ûw moins pour une première approximation , fine l'on a

Jfi — Jo -r, — .r„

APPROXIMATIONS SUCCKSSl VES. 4^

OU bien, puiscjuc ) g ;= o,

On on tire et enfin

Xu =

Cotte valeur peut s'éeriie encore sous les deux formes suivantes :

/, — J-. ji — r-i

On voit que cette méthode tient à la rryle de Bernoulli, c'est-àdire aux principes fondamentaux énoncés dans le chapitre P*".

Il est clair que cette première approximation ne donne pas pourra la valeur exacte de la racine; la substitution de a-o donnera la valeur j-Q (|ui ne sera pas nulle, comme nous l'avions supposé tout à l'heure; par consécjuent on resserrera la racine entre Xo et celle des deux valeurs x, et Xn qui comprend la racine avec x^. En continuant de la même manière, on arrivera à une approximation rapide et facile, car les calculs seront plus simples que par la méthode de Newton, puisqu'il n'est pas nécessaire de faire de substitutions dans la première dérivée (*).

24. JN'ous prendrons pour exemple l'équation suivante, traitée par Gauss ,

34vi2 .>•■ — 1 2o 1 2 x' + 16632 x'' — 1 1 55o x'-" -+- 4200 x^ — 766 j:'+ 56 .c — I = o.

I. La première racine, c'est-à-dire la plus petite, est comprise

( * ) La racine chcichue est comprise ciiUe la valeur ([iio tlomie cette méthode et celle qu'on obtient par la méthode ordinaire de Newton , telle qu'elle a été exposée dans le n" 15. Voir VAIçicbrr de M. Hridt.

44 CHAPITRE DECXIÈMI;.

entre x := o , qui donne

et .r = o,i, qui donne

Mais ces premières valeurs de x étant encore trop éloignées pour appliquer la formule avec avantage, on arrivera, après quelques substitutions, à trouver

x, = 0,025 et x^,= o,o3, d'où l'on tire

ji = — 0,01 122'^ 2 et ^2 = 0,10404» ce qui donne

^0, ou plutôt rj = 0,02547- Il vient

on doit donc resserrer la racine entre x, et x^; on aura

071 = 0,0254462 et J4 = 0,00000507.

Comme cette valeur de j, est très-petite, on peut regarder Xi comme suffisamment approché et poser

II. La seconde racine est comprise entre o, i et 0,2. En prenant ces Valeurs pour x, et x^ , on trouve

j:3 = o,i4, yi=- — 0,082166.

En substituant o, 1 3 , on a

ce qui donne

^4=0,1292 et 74 = 0,0002743.

On trouvera ensuite

API'ROXIMVTIONS SUCCESSIVES. ZJ5

III. I.a troisième racine est comprise onire o,?. et o,3. Eiisiiiti'

.7,-, = 0,295 et V;, =^ — o,oio4?-36, .r, = 0,29708 et jTi = 0,0000129, .rj= 0,29707743, et enfin