VI. X, = 0,8 et .r

j:j = 0,8574, Vi = 0,1007147,

.Ti =: 0,8700 , Xi =1 0,0060946 ,

A-s rr: 0,87074, Xs = 0,000204 1 ,

Xe = 0,8707656

et

VII. Le calcul de cette dernière racine, comprise entre 0,9 et I, présente quelques difficultés, parce que / varie moins dans cet intervalle que dans ceux des autres racines. Dans cette circonstance, le principe de la méthode conduit k faire des substitutions également espacées. On obtiendra donc les résultats suivants:

on doit poser

.r, := 0,96 et X2 = 0,98.

A(y CHAPITRE DEUXIÈME.

Ces deux dernières valeurs donnent

Xi = 0,9743 , .r« = — 0,0063073 ,

Tg=z 0,9745536,

et enfin,

2ÎÎ. Les ealculs précédents ont été faits par IM. Koralek ; on peut les vérifier au moyen des relations connues entre les racines d'une équation et les coefficients de cette équation , c'est-à-dire que la somme des racines est égale et de signe contraire au coeffi-

i-ient ,.c — du sec(md terme de 1 équation ; que la somme de

i6632 , leurs produits deux à deux est égale au coefficient ~wT-r- ""

troisième, et ainsi de suite; enfin, que le produit de ces racines

est numériquement égal au dernier terme — o/^"' '"^'^ ^^ signe

contraire, parce que le degré de l'équation est impair.

Toutes ces vérifications se font avec une grande exactitude.

Du reste, quand on s'aperçoit que .r = o,5 est racine exacte du l'équation, on peut diviser le premier membre par 2.r — i, ce <jni donne pour quotient exact

ly i6,r''— 5i48.r^-}- 5'j^yzx'— 29o4.ï.'+ 6480:'— 54-^ + 1=0,

équation qui a maintenant pour racines les quantités déjà connues

Xi=: 0,7029226, X6= 0,8707656, X; =: 0,9745536.

APPROXIMATIONS SIICCF.SSIVKS. 47

En coiDparant ces vak-urs, on reman|ne les relalioris suivantes:

X, 4- X, = X2 + Xc = X:, 4- Xs =: I .

Si l'on n'avait qu'une seule de ces relations, on pourrait s'en servir pour abaisser le degré de l'équation proposée.

Kn effet, l'égalité r -h jt' zz= i, établie entre deux racines, permet de substituer x' = i — ,r dans l'équation donnée /"(x) = o. La substitution se fera sans peine au moyen de la formule

,,(„+.„=/(;„+-a£)..+/:iAi...+/^u.+....

c'est-à-dire en remplaçant dans les dérivées successives de /"(a), la variable a: par /; nr i; seidement il faudra remplacer .r par — .r : on obtiendra donc, pour équation transformée, une nouvelle équation en .r, qui aura une racine commune avec la proposée, à cause de la relation jr -)- or' = i , et les deux fonctions de r auront un plus grand commun diviseur qui permettra d'abaisser le degré de l'équation donnée.

IMais, dans l'exemple que nous considérons, le nombre même et la similitude des trois relations indiquées emiiècheront d'obtenir cette simplification ; car,' les racines de l'équation proposée étant

Xi, Xj, X-i, As, Aj, A;,

les racines correspondantes de la transformée seront

X;, Xj, X5, X3, X2, A| ,

de sorte que la somme de deux racines correspondantes soit égale à l'unité, comme cela doit être; seulement, cette relation existant pour tous les couples de racines, on voit que l'équation transformée sera identique avec l'équation proposée du .sixième degré : ce calcul n'avancerait donc à rien pour obtenir les racines.

Cependant on peut utiliser les relations indiquées, en posant, dans l'équation du septième degré,

ce qui donnera

puisque

2' En effet, on trouve

Divisant par t, et posant t^ = z, i\ reste

Cette simplification pouvait être prévue, car t = x •, et,

soit X, une des racines de l'équation proposée , d'où l'on tire

on sait que

X, -H X: = I et X: =:: I X, :

par conséquent.

Ainsi les racines de la transformée, après qu'on a divisé par ^, sont égales et de signe contraire, ce qui réduit l'équation au troisième degré.

En commençant une recherche de cette nature, on n'aperçoit pas d'abord les relations qui peuvent exister entre les racines; mais s'il s'en présente qui n'aient pas été prévues d'avance, on en profite pour abaisser le degré de l'équalion , vérifier les résultats déjà obtenus et continuer le calcul avec plus d'assurance et de facilité.

FORMULES APPI\()XIM\ri\ FS. 4Q