III I I

e= IH 1 h

D'après le principe du n° 9, on reconnaîtra sans peine que celte série est convergente ; mais , de plus , nous verrons bientôt qu'il est facile de calculer l'erreur que l'on commet quand on s'arrête à un ternie quelconque.

Remarquons d'abord que e n'est pas un nombre entier; car on a évidemment

II I ^ I I î

Or cette dernière série est une progression géométrique qui a pour limite l'unité. On a donc

d'où l'on voit que c est un nombre conq:>ris entre 2 et 3.

Je dis, en second lieu, qu'aucun nombre fractionnaire exact ne peut exprimer la valeur de c.

\\n effet, soit, s'il est possible, f = — 5 /// étant un nombre

entier ainsi que n\ et poussons la série jusqu'à ce qu'on parvienne

ga CHAPITRE QUATRlliME.

aux tonnes dont les dénominateurs rcnfermenl le facteur «. On aurait alors

m II I

2.3.4'-" 2.3.4--«("+il d'où, multipliant les deux termes par 2.3.4- • •"? i' r*^^^*i 2.3,4- . •{" — ')'" = 2X2.3.4---« 4-3.4-.-«-f-4---'' +...4-

Comme le premier membre de celte égalité est un nombre entier, ainsi que la première partie du second, il faut que la deuxième partie de ce second membre soit aussi un nombre entier. Or cela est impossible , car celte deuxième partie I I I

«4-1 («-|-i)(« H- 2) (rt -hi) (« H- 2}(« 4- 3) ■'■'

a évidemment une valeur moindre que la somme de la progres-

dont la limite est-.

Donc enfin l'égalité

est impossible, et le nombre e est incninmcnsurnhlc, comnie nf)us l'avions annonce.

Le calcul précédent sert aussi à estimer la limite de l'erreur que l'on commet en prenant pour valeur de e les n premiers termes de la série.

En effet, cette erreur, que nous appellerons E, est égale à

APPMCATIOl^S MATITKMATIQUES. q3

c'ost-à-cliro que l'on a

L'^i«+ij(«-+-2)(«-t-3y^-'J

mais nous avons vu que la série entre parenthèses est moiiulrc

que -5 on a clone

Le ealcul se fera donc de la manière suivante :

On |)rend le tiers de - = o,5, le (luart du résultat, et ainsi de

suite. INous avons calculé dix décimales, mais nous devons regarder la dernière comme incertaine , et nous posons

La disposition du calcul fait voir (ju'il n'est pas toujours nécessaire de déterminer théoriquement la lin)ite de l'erreur dans une série convergente , et que l'on reconnaît combien de termes il faut calculer pour arrivera l'approximation que l'on désire, en remarquant (]uel est le terme qui ne donne plus de décimales de cette espèce; c'est à celui-ci qu'il faut s'arrêter (*).

^i7. Pour calculer les logarithmes des nombres, nous avons donné au n" 28 les formules

et

I — JT \ 3 o /

Celte seconde formule est souvent employée, mais comme elle n'est convergente que pour .r <^ i , il faut la modifier en posant

n étant nécessairement positif , ce qui donne

2 // -I- I et l'on trouve

l{i-^^n) — ln = i\ ^- h ^- — ' T + F7 ^ T^---- M

on a donc la différence entre les logarithmes de deux nombres entiers consécutifs « et /? -i- i .

Mais nous allons faire usage de la première foj'mule dans la-

(*) On comproinl qu'il n<> faut pas se fier coniplétcnient à celte obsci'lation

APPLICATIONS MATHKMATiyUES. C)5

(lui'lle Us tenues sont alternativement positifs cl négatifs, et nous poserons

X = -, ri

ce qui donnera

i[i + n) — ln = -t- — — — y— + — — — . . . .

Si nous posions

il on résulterait