II II

on trouverait de même le logarithme de 3 au moyen de celui de 2, et ainsi de suite; mais les premières séries seraient très-peu convergentes. Voici par quel artifice on peut lever cette difficulté. Considérons les valeurs des trois séries :

80 2.(80)= 3.(80)' 4-(Ho;^ ^... — ,. Cela revient à poser les trois égalités a = 2 1 3 — 3 1 2 , ^ = 215 — 312 — 13, 7=413 — 15-412, d'où Ton tire, en éliminant,

13= II a— 3^ — 67, 15 = 16 a — 4P — 9 7- Nous remarquerons que le cafcul des quantités a, p et 7 sera

facile , car tout dépendra des puissances de ^ qui se trouveront,

9^ C.IIAPnr.K QITATRIÈMK.

en nrcn.iiU loiijoiirs le huitième du résultat précédeut

On foinicra ensuite, en jn-enanl ic tiers, le tinquièuie , etc., les fractions ^^-6, ' f— 5;' * * * <^1"<^ ^ ^^ ajoutera avec - : de

même on prendra la moitié de -j- 5 le quart de k; '-t ainsi de

suite , et l'on retranchera la somme de ces quantités de la somme précédente, ce <]ui donnera a. Le même calcul (hmnera en même temps les fractions qui composent 7 , et même celles <jui composent [ï ; car les puissances de r; aideront aussi à trouver celles de

—r ■> puisque 24 = 8. 3.

Ayant ainsi trouvé 1 2 et 1 5 , on les ajoutera, ce <pii donnera 1 10 = 2, 3o2585o92(:j.

APPLICATIONS MATHKMATIQIIKS. q'J

Par conséquent, ainsi (|ii'(m l'a vu au n" 20 , on divisant l'unité par I lo , on trouvera le module

|)ar lequel il laul multiplier les logarithmes hyperboliques que nous avons calculés jusqu'à présent pour obtenir les logarithmes vulgaires ; on obtiendra

en admettant que I 10 soit calculé avec dix décimales. iNous aurons ensuite

L ?. = M 1 2 , L 3 = Ml 3 , L 5 = M 1 ^ ,

et nous en ferons autant pour tous les logarithmes que donneront les séries.

Le calcul des puissances de - sera encore utile pour la déter-

mination des logarithmes de plusieurs nombres premiers. Ainsi

'49-148= 7Q-:rT7QY=-^

48 2.(48)= 3.(48)^ -^••- , et les puissances de —j , que l'on a déjà obtenues , aident à trouver celles de -7-5 : on voit d'ailleurs que

co qui détermine 1 7.

On a

et les calculs sont faits d'avance , car 64 = 8^

Comme 1 65 — 1 64 = 1 5 -1- 1 1 3 — 6 1 2 , on trouve I 1 3. De même

fct, comme 16 = ?. .8, on trouve 117.

()8 CHAPITRF. QUATRIÈME.

-Quant au loijaritlune de f i, on le Irouvera laciUMuenr, |>uis(]ue l'on a

\ lO 2.1

OO 3 . lOOO

Ce qui précède suffit pour faire voir que celte formule peut donner les logarithmes avec des séries trés-coiivergcntcs. On sait , du reste, (pi'il sera seulement nécessaire de trouver les logarithmes des non)bres premiers ; cependant il sera bon , comme vérification , de calculer directement ceux de (juekjucs nombres nuiltiples.

Quand on veut obtenir les logarithnies avec sept décimales , il est bon d'en calculer dix : ce nombre serait plus que suffisant pour une seide opération , mais les erreurs peuvent s'accumuler, parce que les logarithmes déjà trouvés servent à en déterminer d'au Ires.

•4G. Ces opérations, et beaucoup d'autres semblables , peuvent être simplifiées par quelques artifices d'arithmétique.

Quand ou doit , dans une longue suite de calculs , avoir un même facteur pour beaucoup de nombres différents , il est avantageux de faire d'avance le produit de ce facteur par les neuf chiffres, ce ([ui réduira les midliplications à ne plus être que des additions; c est ce que l'on doit faire pour le module W.

Cette simplification n'empêche nullement de faire usage de la multiplication abrégée. Cherchons , par exemple , L 3 par le calcul

APPLICATIONS MATHKMATIQUKS. l^lj

suivant , 13 ctanl vi^kû à i ,(198612281) :

Après avoir renversé le multiplicateur 13, d'après la rèyle d'Ouglitred, il faudra multiplier parc) seulement la j>artie du multiplicande qui n'est pas laissée à droite, c'est-à-dire 4342944^» et, pour cela, prendre dans le produit 9 M les chiffres qui correspondent à ce multiplicande partiel, ce qui fait 3,9o865o33. Cependant il sera généralement utile de forcer le dernier chiffre , s'il y a lieu , comme cela se rencontre ici, puisque le dernier 3 est suivi d'un 7 ; nous prendrons donc 3,9o865o34 : on opérera de même pour les autres chiffres du multiplicateur.

Si l'on doit diviser successivement beaucoup de nombres par le même diviseur, il sera encore avantageux de former les produits de ce diviseur par les neuf chiffres. De cette manière, les multiplications du diviseur par chaque chiffre du quotient seront faites d'avance dans toutes les divisions , et il ne restera plus que des soustractions à effectuer : cela n'empêchera pas non plus d'employer la division abrégée , en se bornant , dans chaque produit partiel , à la partie dont on a besoin pour le moment.

Il est bon aussi, pour faciliter ces soustractions, d'écrire d'avance les neuf produits partiels sur des, bandes minces de papier (jue l'on dispose sous le reste précédent, ce qui permet de voir d un coup d'œil si le chiffre que l'on vient de metire au quotient

IU<i <:HAP1TRK QtlATRIKMK.

esl lr*»|) consitlt r;il)!f , et d'écrire immédiatement le noiiveaci rcsle= (|ui lui correspond : on divise ainsi par un nomlire <|U('lcon(p»e aussi facilement (jiie par un nombre d'un seul chilfre.

Indépendamment de ce procédé, dont l'application n'est véritablement utile que si le même diviseur sert dans beaucoup de divisions, il est une manière très-simple et trop peu connue de diriger le tâtonnement par lequel on détermine cha(pie quotient partiel.

Soit, par exemple, à diviser 58434 par 7334, on est conduit H essayer le qtiotient H ; pour cela , prenons à vue d'œil le huitième (lu (livitlcndc , et comparons les chiffres, à mesure que nous les obtenons, avec les chiffres correspondants du diviseur: nous trouverons le huitième de 58 égal à ■; avec le leste i , le huitième de 24 égal à 3. Jus(iue-ià les chiffres obtenus sont les mêmes que ceux i\u diviseur, niais nous trouvons ensuite le huitième de 3 qui est zéro : par conséquent , le huitième du dividende sera plus petit que le diviseur ^ dnne le ehijfre 8 est trop fort , puisque le diviseur n'est pas contenu huit feus dans le dividende.

Prenons de même le septième de ce dividende, on verra dès le premier chilfre (jue ceseptil ?ne sera plus grand qiu^ le diviseur ; donc 7 sera le chiffre convenable, puistjue le diviseur est contenu sept fois dans le dividende. De celte manière, on n'a pas à écrire ni à effacer de chiffies inutiles.

Cette observation, plus iniportante qu'elle ne le semble peutêtre, est due à M. Binet, frère de l'ancien professeur du Collège de France.

Relativement aux longues additions qui se présentent quelquefois, nous observerons qu'un calculateur, peu confiant dans son habileté, pourra faciliter ro[)ération en comptant dans chaque colonne combien il y a de 2, de 3, ..., de 9, faisant chaque somme partielle et les additionnant ensuite.

Voici enfin une remarque relative aux nombres approximatifs. Après les décimales connues, celles qui viendraient à la suite sont naturellement remplacées par des zéros; mais, pour avoir une appréciation probable du premier chiffre inconnu, on peut le remplacer par la moyenne des dix chiffres depuis o jusqu'à C),

AIMM. HATIONS M A IH KAJ A 1 IQli KS. H) 1

«luiit la somme est -^-^ =45 : cette moverine sera donc .{,5 :

si l'on eu fait autant pour les ciiiiïres suivants, révaluation pio- La])le de la partie inconnue sera 4999 • ■ • = 5, c'est-à-dire une denii-nnilé du deinier ordre, comme cela était jjresque évident. Observons à ce sujet que si l'on l'ait la somme S ties c.So décimales que Ton connaît avec certitude pour le nombre tt, on trouve

S — — - = 4>5, ce qui doit être ù la limite pour un u(>nd)re incoiu-

mensurable ; à moins (pî'il n'y ait une loi pour la succession des chiffres, conime dans les périodes.