X- x' cos.r = I

Il sera même plus clair et jjlus exact de considérer x comme étant, dans un cercle quelconque, le raj)port de la longueur de l'arc au rayon du cercle; de même sin x et cos.r seront les rapports des lignes prises dans ce cercle avec ce même rayon.

De cette façon les lignes trigonométriques ne sont plus que des rapports, ainsi qu'on les considère dans !'aualys<'.

On déterminera ainsi, en admeltant, par exemple, ipie l'on

Io4 CHAPITRE QUATRIÈME.

parte de l'arc de lo secondes, le sinus et le cosinus de cel arc: pour connaître ceux des multiples de lo secondes, on peut employer les formules suivantes, dues à Thomas Simpson :

sin (/« -H t)a = sin ma . i ros a — sin ( /// — i ) ^' » cos ( w + I ) « = cos ma . 2 cos a — cos (ni — i ) '' ,

et qui se déduisent facilement des valeurs connues de sin ( n "+~ />) et de cos{a±b), en faisant

b ^= ma.

On pose

a = aie lo", on fait successivement

et l'on s'élève ainsi de proche en jjroche jusqu'à 45 degrés, ce «]ui suffit pour tout le quadrant, si l'on a calculé les sinus et les cosinus. En effet,

sin ( 45 + a ) = cos (45 — a ) ,

puisque la somme de ces deux angles fait 90", (piel que soit x. l>e lUéme

cos (45 4- a) = sin (45 — a).

Les formtdes de Thomas Simpson fournissent une applicalioii remarquable de ce que nous avons dit au counnencement du n" -41). On déterminera avec plus ou moins de décin)ales, suivant l'approximation que l'on veut avoir, le sinus et le cosinus de 10 sc-^ coudes, et l'on fera le j)rodiiit du facteur commun 2 cos 1 o" par les neuf chiffres. Ces produits serviront dans toute la série des calcids.

SI. Aiin de montrer avec plus de détails quelle peut être l'approxin)ation dans ces calculs et de donner un exemj>le des grades par lesquels on avait cherché à reujplacer les degrés du cercle, nous allons chercher, d'après 31. Vincent, les sinus et cosinus relatifs à celte nouvelle division.

Au lieu de diviser le quadrant en 90 degrés, le degré en 60 minutes et la nvinute en 60 secondes, on l'avait partagé, à l'époque the rirKvention du système décimal, en 100 grades, le grade en 100 miaules centésimales ou centigrades, et le centigrade en loo sao-ndes ceni^-siniahs ou <Ii\riiilligiadcs. On xoil la diUércncc

APPLICATIONS MATHKMAllQlltS. 1 ()5

(|iii existe eiilro los inin(il(.'S ou les sccoiulcs ci'nti'siinalfs et les minutes ou les sccomlcs scxtigt-ii/nn/rs ou oïdinaiies (*).

Prenons donc pour a, dans les formules de Simpson, la secomie eentcsimale, c'est-à-dire la millionième j)artie du quadrant dont la valeur, (juand on fait le rayon égal à l'unité, est

L'erreur commise en employant cet arc pour son sinus sera moindre, d'après la série connue et la règle du n" 10, que

— ^(0,0000016)' ou -^(0,000000000000000004096),

ou encore

c'est à-dire l'unité décimale an di.r liuitièinc ordre. On pourra donc pousser le calcul de a jusqu'à la dix-huitième décimale et considérer le résultat comme représentant jusqu'à cette limite la valeur de sin«, ce (pii exige l'emploi des douze ])remières décimales de 77.

Oiiantà la valeur de cosa, en la supposant égale à i • on

ne commettra pas d'erreur dans les vingt-cpiatre preniiè-res décimales, car il est facile de voir tiue - — - — 7 (0,00000?. ',(iui mesure

l'erreur, est moindre que l'unité du vingt-quatrième ordre Ainsi,

les douze décimales de n, qui en ont donne dix-huit pour sinr/, en ilonneiont vingt-quatre pour cosrt.

On prendra donc, dans les formules de Th. Simpson ,

c'est-à-dire une seconde centésimale , v\ Ton fera successivement

/« = I , m = 1 , . . . , jusqu'à m =r 999999,

hypothèse finale qui reproduit le {[iiadrant. En réalité, d'ailleurs, on sait qu'il n'est pas nécessaire de dépasser le demi-quadrant;

(*) D.Tlis heaiifouj) d'ouvrages on laisse an grade lo nom île dcf;ir, cl l'on indique les di'j^;rés, iniiiules et secondes de ce syslcnic \<a\ les mêmes sii;iii's ') 'y " , 'il'*-' dans le syslcmc oïdinaire

lo6 CHAPITUK QUATRIÈME.

mais on admettant même le cas défavorablo où Ton irait jus(|M'aii quadrant entier, nous voulons faire voir que néanmoins, mu/gré rnccurnulation des rrrci/rs , on aurait encore douze décimales exactes pour les sinus et cosinus des arcs les plus rapprochés de cette limite extrême.

A cet effet, soit représentée par â la fraction d'unité du dix-huitième ordre dont sin 0^,0001 est en défaut, l'erreur de coso'^,0001 sera négligée en comparaison, comme étant bien plus faible, j)uis- <pril a 24 décimales exactes et le sinus 18 seulement.

D'après cela , la limite de l'erreur de sin o",ooo2 sera

:: 0 ; celle de sin ()'^,ooo3 sera

2rî.-... rj — 3rJ;

celle de sin 0^,0004 sera

'S0.2 — 2S = /\S; et génei'alement la limite de l'erreur de sin {m -\- i).()",oooi sera

/nS .2. (ni I ) rî = ( 77? + I ) (î.

Ainsi l'erreur du sinus, à la limite du quadrant, sera

ce qui réduira le nombre des décimales exactes de dix-huità douze. De même, soit s la fraction de l'unité décimale du vingt-qua- Irième ordre dont cos 0^,0001 est en défaut. L'erreur limite de coso°,ooo2 sera 4^, parce qu'ici les deux facteurs du terme

cos 0^,0001 X 2 cos 0^,0001

étant comparables, on ne d(jit plus rien négliger: on voit qu'en effet cette erreur sera double de celle du carré de ce cosinus. Or, d'après les principes posés dans le premier ch^ipitre, on a

c'est-à-dire que l'erreur de ce carré sera 2 A s ou plutôt 2 e, puisque A est un cosinus.

De même

cos ?} a —:z cos 2 n . 2 cos (i - • cos n ;

APPLICATIONS MATHl'MATIOUhS. > H'J

niais rcrroiir do oos 2 <7 . 2 cos r/ s'cvaliu'ia on posant

2(B + 4e) (A+ £) pour valeur do ce produit dont l'erreur sera

rosullal inférieur à 5 e. 2, puisque A et B sonl dos oosiniis. Ainsi l'oirour de cos 3 a sera

colle de cos 4 « sera do même

ioe.2 — ^£ ^= iGe;

celle de cos5« sera

et ainsi de suite, c'est-à-dire, en généralisant, (juc cos(w -\~\)(t comporte une erreur limite de

[m- -f- 1 ) e X 2 — [ni — i)' e ^= ( «/ -H i )' e ;

ce qui montera pour l'arc de 100 grades, c'ost-à dire le (piadrant, à lo'-'e, et fera, par conséquent, perdre à la série des cosinus douze décimales sur vingt-quatre, de môme que la série des sinus en avait perdu six sur dix-huit.

On voit donc que d'un coté comme de l'autie, on cnnscrvc douze décimales exactes da/is tonte la suite des calculs.

Cette méthode s'appliquerait aussi facilement à l'ancieiuie division du cercle, c'ost-a-dirb à la division sexagésimale ordinaire ; car l'on sait {|ue la nouvelle division décimale n'a pas prévalu , quoicpTelle ait étc adoptée dans plusieurs ouvrages, tels que la Trigonométrie de Legondre. On l'a sans doute rejetéo, parce (pie le nombre 100 n'a pas autant de diviseius (|ue go et 60, mais surtout parce qu'elle aurait nécessité l'abam Ion d'une foule d'instruments dont les limbes étaient divisés suivant la méthode sexagésimale.

S2. Les constructions qui donnent en géométrie les côtés Av certains polygones réguliers permettent d'obtenir des vérifications assez nombreuses pour les sinus et cosinus de certains arcs. Voici un tableau (|ui contient les valeurs des sinus <! cosiiuis de () en C) degros (il est birn ('nt( ndii que nous icprciioiis i<i la dixision

lo8 C.HAPIIRI (^UATRIÈMR.

ordinaire) :

sin o" = o, cos" =

siii 9" = -7 V 3 -<- v/5 — 7- \/5 — v'S ,

cosq" = 7 V 3 -h v'5 + 7 S 5 — v'5 ;

sin 1 8" =r 7 ( y'S — i ), oos 1 8" = y v' 10 + 2 y/S j

sin 27" = - s 5 H- \/5 — 7 \ 3 — V'5,

cos27'"=y V5 4- V5 + 7 V3 — v/5;

sin 36" = y s 10 — 2v/5, cos 36° = -^ i y^ô + 2);.

sin45°=:y \/2, 00545°=:- V^ 2 ;

On peut ajouter au tableau les valeurs suivantes :

1 V3 sin3o"=— 5 cos3o°=: — :

sin6o°=: — t cos6o°=-; 2 2

cos I O"

Ces valeurs du sinus et du cosinus de i5° = — ont été obtenues

d'après celles du sinus et du cosinus de 3o' = -^ au moven des for-

mules <[ui permettent de prendre la moitié des arcs. On aurait de même les valeurs de ces lignes pour — r» 77^ 5 etc.

APIMITATIONS MAI 111 MA IIOliKS I 0« J

Ay.inl ol)l»'iiii par le tùti' ilii dcvMj^oiie ici;nliei' !«■ simis cl ir co-

Sinus tlf - et <lo — •> on raliiik'ia ceux de ■ -y— ■> de.

5 lo 20 40

Kn appelant x le côte du [lentédécagone, on aura

•r = 2Sin--r;5

et d'ailleurs

Sô. Après avoir calculé les sinus et cosinus naturels, il faudrait cliercher leurs logarillimes, mais comme nous avons supposé jusqu'ici le rayon égal à riinilé, tous ces lojjaritlimes seraient négatifs; on prend donc un rayon R =: lo'", ce qui revient à ajouter 10 à fous les logarithmes des lignes trigonométriques. De cette façon, il faudrait que les arcs fussent beaucoup plus petits qu'on ne les rencontre dans la pratique pour que les logarithmes de leurs sinus ou de leurs tangentes fussent négatifs. Par exemjile, pour que le logarithme d'un sinus fût alors négatif, il faudrait

que l'arc correspondant [ùt moindre que -z

C'est pour nous conformer à l'usage que nous avons p^ule du rayon des Tables; d'après ce que nous avons vu au n" oO, il serait plus naturel dédire simplement qu'on ajoute 10 aux logarithmes ])Our les rendre toujours positifs.

Du reste, on conçoit qu'on cherchera le logarithme des sinus et des cosinus naturels comme ceux des nombres ordinaires; ainsi les logarithmes des nombres étant calculés, par exemple, avec sept décimales, on aura aussi sept décimales jiour les logarithmes des lignes trigonométriques.

On peut d'ailleurs développer directement en série les logarithmes des sinus et des cosinus. Pour cela , ra])pelons-noiis que la série

1.-1.6 i .i.6.i\.o est convergente, non pas seulement (piand r esl contenu dans le

IlO CllAPITRK (JUATRIEMH.

premier quailrant, mais aussi (jiiaïul x augmente ou tlimiiuie d'une ou de plusieurs circonférences. Par conséquent , l'équation

sera résolue pour toutes les valeurs de x dont le sinus est nid ; ces valeurs sont contenues dans l'expression

X claiit un nombre entier quelconcpie.

Or le polynôme , même indélini , d'une équation, se décompose dans le produit des facteurs qui le rendent nul ; on aura donc

car il est larde de voir (pie j,- = rb / tt rendra nul un des facteurs du secoiul niendjre. On aura donc aussi, en dédoublant ces facteurs,

Il sera donc d'autant plus facile de prendre les logarithmes de part et d'antre, que la forme des séries logaritlnni(iues s'applique parfaitement aux facteurs du second membre.

Le même raisonnement s'appliquera au développement du

cosinus

cosj: = I-