Passons maintenant aux fonctions circulaires

Pour calculer, par exenq)le, le logarithme du sinus d'un arc quelconque donné en degrés, minutes et secondes, nous supposerons d'abord que cet arc est pris dans un cercle dont le rayon est l'unité. Il faudra avant tout, dans ce cercle de i mètre de rayon, calculei' en mètres la longueur de l'arc donn<' en degrés. C'est l'inverse du problème (jue nous avons étudié dans le n" 6.

Comme on prenil toujours pour point de départ un arc trèspetit, nous chercherons la longueur de l'arc de i seconde. Il est clair que la longueur de l'arc de i degré est

-^-t et par suite arci'=— - — -^ — -^ = -—3

100 I Ho. 00. 00 04 0000

On aura ainsi cette longueur avec plus ou moins d'exactitude, suivant le nombre de décimales que l'on aura prises pour la valeur de TT.

Nous aurons donc la longueur d'un arc d'un nombre tjuelconque n de secondes, en multipliant jiar n la valeur précédente

TT

648000 Réciproquement, si l'on demande combien un arc de longueur a contient de secondes, nous verrons (ju'il en renferme au tant que la quantité x s'v trouve contenue de fois.

Posons donc

ÏOli *;llAriTRft QUATRIÈME

on voit (lue

on bien

car on sait qne

à nu conlinjllièinc |)il*s; par consécjnenl

Or il fant diviser a par .»:; cela revient donc à ninlti|)lier par a : ainsi, le nojnbre de secondes contenuesdans l'arc de loniçueur a sera

Proposons-nous de chercher la différence des heures observées au même instant sur un parallèle donné de la terre à deux points situés sur deux méridiens différents.

Pour cela, observons dans la relation précéd( iitc tpic le nombre de secondes contenues dans un arc de longueur donnée diminue (piand le rayon aui^naentc. Ainsi, dans un cercle de rayon / 011 trouve

et si l'on ( herche condjien il y a de secondes dans 1 kilomètre du parallèle, il reste

Dephjs, soit R k? rayon de la terre supposée splieri(pu', on sait ipie

/• = R cos A , en appelant >. la latitude, et par suite

2 TT /■ r:^ 2 TT R . cos A =: 4oOOOOOO . COS ) .

Multipliant donc haut et bas pai 277, il vient, à cause dv

îra = 648000 ,

40000000 ros)

\1>IM.1<;.\TI()NS MATlIKMAnyiPS n>3

v\ ciiliii

„ = hli.

cos/ ^laintonant, soit t le nombre île secondes d'iicure (jui s'écoule entre le |)assnge du soleil à chacun des méridiens, le rapport de ces secondes d'Iieurc aux secondes de de(^ré sera, comme on le sait, représenté par

On a donc

ce qui donne

1 5 1 5 cos 'k 2, i6

cos A

Pour le parallèle de Paris,

ce qui donne

pour la différence des temps sur ce parallèle à i kilomètre de dislance.

SO. Connaissant ainsi, dans un eeicle dont le layon est éi^al à l'unité, la longueur d'un are d'un nombre quelcon(jue de secondes, nous calculerons son sinus et son cosinus par les formules connues et toujours convergentes

sm .»• =- X —