Calcul (le TT
Tous les calculs précédents, relatifs aux lignes trigonométriques, sont basés sur la connaissance du nombre rr, rap[)ort de la circonférence au diamètre. Depuis Archimède, qui l'a calculé le premier, on a proposé, pour en trouver la valeur, bien des méthodes géométriques ou analytiques, dont la discussion nous entraînerait tiop loin.
On sait que le rapport indiqué par Archimède est — •> et que
celui d'Adrien Métius, égal à — -•, est facile à retenir, parce qu'il
suffit d'écrire deux fois les trois premiers chiffres impairs, ce qui donne i i3355, et de prendre la moitié du nombre pour numérateur et l'autre moitié pour dénominateur. On trouvera facilement l'approximation respective de ces deux rapports en les réduisant en décimales et comparant les résultats à ceux (jue nous allons déterminer.
La méthode la plus simple pour trouver la valeur de ti- consiste dans l'usage des séries qui proviennent du développement
jn'^ x" x' .r'
arc lang.r = x — -\- i^ 1 -■ •••
r 1 / ; \ tangrt H- tang/-»
La fornuue tang (« + /;)= ^—r donnera
I — tangrt tang o
- = arc tany — h arc tang - -f- arc tang 3» 4 '2 "5 o
formule assez avantageuse, car les puissances de - donneront
t I?. CHAPITKK OUATniÈMF..
celles de -■, et même celles de - = — : il s'.itjira toujours de 8 5 lo ^^ •'
former les puissances de i.
On a encore
TT I I 7r I I
y = arc tang — h arc tang — et -7 = 2 arc tang — + «"ït'c tang - ■
Mais la formule dont on se sert le plus souvent est celle-ci, qui a été trouvée par Machin ,
-7=4 arc tanL' -= — arc tang -— —
Nous allons Aiirc usage de celte fornuile en poussant le calcul jusqu'à vingt décimales, comme dans la Trigonométrie de MM. Delisle et Gerono.
Calcul (le 4 «ii'c tang--
-~-rr = O , 00025 6
— 1— = o ,00000 00000 oo3o8 40470 59
J^^ = 0,00000 00000 00000 ooo53 60 25 5« •'
— -—- =r 0,00000 00000 00000 00000 on
Somme = o,8oo25 62278 07925 8987 i 81
APPLICATIONS MATHKMATIQUKS.
tr^ =: o , () I oGG 6GG66 GGG66 G6GGG G7
Somme = o ,01067 3g884 08402 86528 78 Retranchant cette somme de la précédente, on trouve
4 arc tang - = o , 78958 22898 99528 08848 o4
Calcul (le arctane— -— ■
Somme = o , oo4 1 8 4 1 oo4 1 8666 5 1 4 1 5 54
— = 0,00000 00000 00000 00820 nî
Somme = o ,00000 00244 16591 79029 09 Kn retranchant cette somme de la précédente, on obtient
arc tang -0-= 0,0041840760 02074 7288645
<;hapitke quatrième .
En relianclianl cette valeur de 4 arc lang --, il vient
TT
D'après le principe Ja n" 10, on prendi-a pour mesure de l'erreur dans clnupie série, le premier terme que l'on néglige : on reconnaît d'après cela que ce résultat, calculé avec vingt-deux décimales, en a au moins vingt qui sont exactes ; d'où l'on tire
On pourrait encore modifier ce calcul en observant ([ue
arc tang — -— = arc tan», arc tang — ^
ce qui donne
