TT , I I I

-f = û arc tang - -f- arc tang arc tang — •

Relativement à cette dernière formule, nous remarquerons qu'on peut diviser par 99 comme j)ar un nombre d'un seul chiffre. Soit, par exemple, à diviser par 99 le nombre 5743256, nous dirons: en 57 j, le diviseur se trouve 5 fois, et il resterait 74 si l'on divisait par 100, mais il reste 5 de plus, ce qui fait 79, et l'on dit: en 793, on trouverait 7 fois 99 avec le reste gS-h 7:^ 100; donc il y est 8 fois avec le reste i . En 12, il n'y est pas et le quotient est o; en i25, il y est i fois et ainsi de suite.

On trouvera dans l'avertissement de Callet, page 96, les 128 décimales calculées par Lagny en 1719- Différents géomètres, M. Rutherford, M. Dahse , etc. , ont vérifié et étendu ce calcul, et M. Richter l'a pousse jusqu'à 333 décimales. Malheureusement peu de personnes sont capables de vérifier de semblables approximations, et d'ailleurs elles n'ont pas d'importance pratique, car M. Lehmann, de Postdam, a observé que si l'on cherchait le volume d'une sphère ayant pour rayon huit trillions de kilomètres, et si l'on voulait calculer avec une exactitude telle, que l'erreur fût nioindre que la plus petite grandeur microscopique, moindre

AI'VIIC.ATIONS JIATHKM \riQUF.S. ! I fl

iju'uii cube (l'un niilliunitMiic de cciiliuiùtie de lùlé, il Milliiaif dr prendre tz avec t)0 décimales (i).

Lambert a démontré que le nombre -k et son carré étaient deux nombres incommensurables; nous renverrons pour la démonstration à la Note IV de la Gcoinrtric de Legendre. Ces deux théorèmes ne suffisent point pour prouver l'impossibilité géoinétrique de la quadrature du cercle : il faudrait faire voir (jue tv ne peut être racine d'une équation telle, que cette racine se construise parla règle et le compas; mais cette proposition, quoique très- probable, n'a pu être encore démontrée.

Vu l'importance de ce nombre, on l'a présenté sous plusieurs formes différentes, et, par exemple, sous celle de fraction continue. Pour Y parvenir, on est porté naturellement à prendre r. avec un certain nombre de décimales et à réduire cette quantité en fraction continue, mais il faut observer que les réduites obtenues s'approcheront, non pas de la valeur de tt , mais seulement de la fraction que l'on a prise pour remplacer ce nombre. Pour être sûr que les quotients incomplets auxquels on parvient appartiennent effectivement à tt, il faudra prendre deux valeurs, l'une plus grande que tt, l'autre plus petite, et les réduire toutes doux en fraction continue. Il est clair que tous les quotients incomplets communs à chaque fraction continue appartiendront aussi à la valeur de 77.

En prenant, par exemple, les deux valeurs

I 0000000000 et

qui comprennent tt, et ne gardant que les quotients incomplets communs aux deux fractions continues qui résultent de ces quan-

( ") Voir Nout'clles Annales de Mathématiques, tonio XIII , i85'| , paf[cs/(i8 et siiiv.

I |(i CKAPITRE QUATRlEfl!*.

tilés, on Irouve

ce qui donne les réduites suivantes :

3 23. 333 355 103993 104348 208341 I 'j [06 ii3 33io2 332i5 G6317

D'après les propriétés des réduites, n° 18, on sait que chacune de

ces fractions approchera phis de la valeur de n que toute fraction

plus simple. De plus, ces réduites sont alternativement plus petites

et plus grandes que t: : ainsi, 3 est trop faible, — trop fort; et

ainsi de suite. L'erreur de ce rapport — -, qui est celui d'Archi-

mode, sera donc évaluée par la fraction

Le rapport — -■> dû à Adrien Métius, sera aussi trop considé 1 13 '

rable, mais l'erreur sera évaluée par la fraction

ii3.33io2 3740526

On trouve d'ailleurs

donc ce rapport n'est en erreur qu'à la septième décimale.

Au commencement du n" 18, nous avions réduit en fraction

continue cette même fraction — - qui nous avait donné pour

APJ'l. MATIONS AIATIIKMATKJUF.S. 117

rcduilos les (Hianlilés

ce qui tliffcre du véritable développement de rr en fraction conti-

nue, parce qu'il v manque la réduite — -r-

ICO

iîiî. Quadrature approximative du cercle.

L'impossibilité presque démontrée de résoudre le problème de la quadrature du cercle a porté, après avoir trouvé n avec une approximation arithmétique suffisante, à le chercher aussi avec une certaine approximation géometri(|ue, c'est-à-dire àconstruiredune manière plus ou moins simple et plus ou moins exacte la circonférence correspondante à un rayon donné, et réciproquement, ou bien le côté du carré équivalent à un cercle de rayon donné.