L.2 = o,3oio3oo L.//i
1 1 , 8090 1 24 L.sin(2a — 180)= 9,9922498
La racine est donc
63. Résolution des équations du quatrième degré par la trigonométrie.
On sait qu'un polynôme du quatrième degré se décompose toitjours en facteurs réels du second degré; nous allons voir que la
API'MCVTIUNS MAlIlKMATIQlir.S. I^»)
iK'tO'minatioii ili- ces facteurs doptud d'une é(juation ilu lioisièiiie degré.
Soit
l'équation |>ro[)osée, que nous supposerons, pour plus de sin)|)li> cité, privée de son second terme; nous poserons
.r'-h Qj-'-h Rj:4- S = (xM- ax -h jî) {x' + u' x -h fj'),
re qui donne les relations
a-+-a'=o, !ï+ p'-f- aa'=Q, [i«' -+- (î'a = R, pp'=S.
La première montre que ol' = — «; donc les deux suivantes de-
viennent
(i H- p' = Q + a^ et 8' — ^ = - :
ioù l'on tire
p'=i('Q + a'-)+— et [;i=i(Q + a^) A; ' 2 ' la. 2^ ' la.
en multipliant ces deux valeurs, on trouvera, à cause delà dernière relation ,
et l'on obtient enfin l'équation
a" + 2 Q se' + a' ( Q' — 4 S ) — R^ = O ,
(|ui ne sera que du troisième degré si l'on prend a' pour inconnue <.^t qui aura toujours une racine positive , puisque le dernier terme <?st négatif; donc aussi a aura toujours au moins deux valeurs réelles, numériquement égales et de signe contraire. Comme d'ailleurs on a trouvé ^ et ^' en fonction de a que nous pouvons maintenant supposer déterminé, on connaît les facteurs qui sont
fK
l5o CHAPITRE QUATRIÈME.
Ces formules seraient en défaut si l'on avait
auquel cas l'équation en a donnerait aussi
Mais, pour lever cette indétermination, remarquons que nous avons trouvé en «énéral
donc, pour
les expressions des facteurs deviennent
c'est d'ailleurs ce que l'on voit directement, puis([uc rccjualion, proposée se réduit à
jr* 4- Q^-'-f- S ^ o, pour R = o.
Si deux ou trois valeurs de a' sont positives, et qu'une d'elles soit coramensurable et par suite entière, puisque le coefficient de a'' est Tunité, il faudra la préférer : de plus, si ces deux ou trois valeurs sont enlièies et positives, et que parmi elles se trouve un carré parfait, il faudra l'employer de préférence aux autres, parce que a étant alors entier, les facteurs seront coirmiensurables.
INous prendrons pour exemple l'équation
j:' — 7 X- — iS X — 8 = 0, laquelle donne
a' — i4 a' -t- Hi a — 324 ^^^ *^ '■>
on trouve donc
c'est-à-dire
Alors
a- = y et y. -^z it 3 , a = 3 et 7! = — 3.
APPLICATIONS MATHtMATIol'ES. l5l
ft' i|iii donne
•■<^'— 7.r^ — iSx — 8 = [x' + 3x-h^){x'— 3x— 2).
Soit encore l'équation
<jMi conduit à l'équation en a ,
z' — 24 a' + 52 z^ — 16 = 0; on en conclui.
et l'on obtient la décomposition suivante : Z-' — 12 x' H- 4 .i' -f- 23
= (x-+ X v^ — 5 — s/^) (x' — jc y/2 — 5 -\- s/2).
