Intersections des sections coniques

I. On peut encore ramener à la résolution d'une équation du troisième degré le calcul de l'intersection de deux coniques. Le plus simple est de chercher les équations des droites qui réunissent les points communs aux courbes pris deux à deux; mais, avant d'exposer cette méthode, nous devons faire remarquer qu'une sécante réelle peut correspondre à des points imaginaires.

Soient

Ay^ H- B .rj -f- G X- H- D j -\- E x -+- ¥ = o

A'r^+ B'rj -h C x'-h D' j -+- E'x + F' =r o

les équations des courbes données; multiplions la première par A', la seconde par A , et retranchons, il viendra

a:j(A'B — AB') + j;'(A'C— AC) + /(A'D — AD') + 2(A'E — AE') + A'F— AF' = o :

de là on peut tirer la valeur de j que l'on substituera dans l'équation de l'une des coniques, ce qui donnera une équation du quatrième degré en >»•.

l52 CHAPITRE QUATKIÈMK.

Le polynôme qui en foiir.c le premier membre peut toujours, comme on le sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré dont chacun donne, quand on l'égaie à zéro, deux racines réelles ou imaginaires. Si ces racines x' , x" sont réelles, il est clair qu'elles donnent aussi des quantités réelles pour j' et r', quand on les substitue dans l'équation précédemment écrite, où r n'entre qu'au premier degré; mais si elles sont imaginaires, y' et y" seront aussi imaginaires.

Cependant, il faut observer que, même dans cette circonstance, la droite qui passera par ces deux points imaginaires conjugués sera une sécante réelle. En effet, on sait que la valeur iuiaginaire x' sera de la forme

•3;' = « H- p \i— I , et que l'expression correspondante/' sera aussi représentée par

Or, comme on passe de .r' à .*" en changeant le signe du radical, ce qui donne

on obtiendra/" au moyen de j' en faisant le méuie changement, ce qui donne

Gela posé, l'équation de la droite qui passe par les deux jjoints en question, étant

ou bien

on trouvera

— 1 , y ' — y" = 2 <î sj— 1

= ?, fpY — '/<?) sj— 1,

APPLICATIONS MATHtMATlyUI.S. I 53

ce qui donnera IVciuatioii réelle de la droite

Sx -i- py — y.6

Voici donc les trois cas généraux qui peuvent se présenter :

1°. Les deux coniques n'ont aucun jjoint coninuin; cependant les points imaginaires conjugués deux à deux donnent deux sécantes communes réelles ;

2". Les coniques ont deux points communs; c'est ce qui arrive quand l'un des facteurs du second degré qui comj)osent l'équation du quatrième degré dont nous avons parlé, donne deux racines réelles, tandis que l'autre donne encore deux racines imaginaires : alors une sécante passe par les points réels, et une autre sécante réelle passe encore par les deux points imaginaires ;

3°. Enfin les coniques ont quatre points communs : dans ce cas, chacun des facteurs du second degré se décompose en deux facteurs réels du premier degré, ce qui donne quatre points réels que l'on peut grouper deux à deux de six manières différentes; on obtient donc trois couples de sécantes coninuines. Ainsi , soient M , N, P et Q les quatre points communs , on aura les couples de sécantes

MN et PQ ,

MP et NQ, MQ et NP.

IL Nous allons voir comment on trouve, dans tous les cas, les couples de sécantes communes.

Soient

(i) M = Ar" -h BxY ■+- C^- -f- Dr -h E x -h F = o

et

( 2 ) M' = A'; ■ -h B' xy -h a J-r ■+- D' j- + E' a: -+- F' = o

les équations des coniques dont on demande l'intersection. En représentant par a un coefficient arbitraire, l'équation

(3) I\M-XM'=o

sera l'équation générale de toutes les coniques qui passent par le*

l54 CHAPITRE QUATRIKMF.

points coiiiinims aux deux courbes données, puisqu'elle sera toujours satisfaite, (juel que soit /, par les valeurs qui donnent à la l'ois

On cherchera donc à disposer de ). en sorte que l'équation (3) devienne celle d'un couple de droites passant par les points eomluuns.

Or, si nous posons

«~A + aA', b = B -h'.li', c=^C-+-lC', (l=D-h >. D', t' = E + / E', /= F -H "A F', il est clair que l'équation (3) deviendra

oj- + bxy -+■ ex- H- (l) -h cju + / = o ,

et comme elle doit se ramener à deux facteurs du premier degré , il faut poser

ar'' -\- bxf-h cx^ -{-(^y-i- ex +/"= [mx -!- ny -+- p)[in' .v-\- n' y -\- fj),

les équations m.r + //j + /^ = o , /// x + n' y -\- p' = o étant celles des deux droites qu'il faut déterminer.

Développant les calculs indiqués , nous trouverons les équations de condition

a = nn' ( 4 ) , b = mn' -+- r/i' n ( 6) , f/ = np' -+- /l' p {8 ) , c = mm'{5), f = j>p'{']), c= nip' + m' ij[^).

Les équations (8) et (9) donnent

(1 0) dm — en ■= p [mn' — m' n)

et

(il) dm' — en' = p' ( m' n — mn' ) .

Multipliant (10) et (11), on trouve, en ayant égard aux relations (4)5 (5) tt (6) qui donnent (12) ( mn' — ///' II)- =^ b- — 4 ''"■ 1

l'équation de condition

( 1 3 ) (d- -+■ aé' — bdc -|- /'( /;- — 4 "'') = '' >

qui déterminera ) .

D'après les valeurs de ^/ , b, c, . . . , il est dair que l'équation

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. I 55

(i3) sera du troisième dej^ré en A , et nous allons même faire voir que cette équation ne peut jamais s'abaisser il un degré inférieur, à moins que l'une des coniques ne se décompose elle-même en un système de deux droites. En effet, dans cette équation (i3), remplaçons « par A + )>A' et les autres coefficients par leurs valeurs analogues, on verra facilement que le coefficient de a' sera