D + AE — BDE-^ F(B — 4AC
or, si l'un de ces coefficients était nul, la conique correspondante vérifierait l'équation (i 3) et se décomposerait en deux droites.
L'équation (i3) étant donc toujours du troisième degré en À, pourra avoir uneou trois racines réelles. Dans le premier cas, cette racine unique fera toujours trouver, comme nous l'avons vu, un couple de sécantes réelles dont l'une, au moins , ne donnera que des points imaginaires; l'autre pouvant correspondre, suivant l'occasion, à deux autres points imaginaires, ou à deux points réels, communs aux courbes proposées.
En général, pour reconnaître si une sécante réelle donne des points réels ou imaginaires, il faudra combiner son équation avec celle de l'une des coniques et voir si la droite et la courbe se rencontrent.
Dans le second cas, où a a trois valeurs réelles, il peut arriver, comme on l'a dit, que l'on obtienne trois couples de sécantes réelles et, par suite, quatre points communs aux deux courbes. S'il en est ainsi, ou n'aura pas besoin de combiner les droites avec les coniques; les points d'interseclion d'un couple de droites avec un autre couple seront les points communs aux courbes proposées.
ÎMais il ne faut pas croire que la réalité des trois racines de l'équation en 1 entraîne nécessairement la réalité des trois couples de sécantes. Nous savons, à la vérité, que l'un, au moins, de ces trois couples , doit être réel , mais il peut ne pas en être de même pour les deux autres, car nous serrons bientôt ([u'uue valeur réelle de 1 peut (pieNpufois donner un roupie de droites imaginaires.
l56 CHAPITRE QUATRIÈME.
Nous savons que, s'il n'y a pas Irois conplcs de sécantes n(>llcs, il y en a nn seul. Donc celle des trois valeurs réelles de X ([ui correspond à ce couple unique donne lieu à la même discussion que nous avons déjà faite pour une seule valeur réelle de X , c'està-dire (jue les coniques ne rencontreront que l'une des sécantes et pourront même n'en rencontrer aucune.
III. Voici maintenant comment on j;eut, après avoir déterminé >. en résolvant l'équation (i3), trouver celles des cou|)les de sécantes.
Posons , pour simplifier ,
R'= ^^ — 4rtc, l'équation (12) deviendra
(i4) run' — m' n=±n ;
en ajoutant (i4) avec (6), on obtient
2 mn' = /; ±: R , et divisant par ^4^ '' vient
/;/ b±R Il la
En combinant (lo) et (i^)» «n trouve
Mais on voit que
6dbR
ia
remplaçant — par cette valeur dans (i5), on obtient
d{h±.Rj P '
d'où l'on tire
hd — 2af±Rr/ d , 1 bd
n ± 2 rt R -Xf! ■?.(( R
Conime léqualion de la sécante con)n)iine ]>eut se nietlie sou.s
AHPMCATIONS M ATli KM ATI^U KS. 1 57
la loriiK-
cette équation devient
, , , / rr:. 7 — ^«"^ — ?"^ \
n\ 4- hx + r/± I x \J b^ — ^ac -\ \ = o,
en chassant le dénominateur 2 rt et remplaçant R par sa valeur. Ce système de droites serait imaginaire pour une valeur de X, même réelle, qui donnerait
b'' — ^ac <^ o.
. . bd — lac Mil,. • 1-^
La quantité — est susceptible d être simplifiée. Dans
Sjb' — ^ac *
l'équation (i 3) , on remarque que les deux termes ne^ — bde font partie, sauf un l'acteur commun, du carré de bd — 2«c; nous aurons en effet
( bd — ■?. ac )- = è' d-" — 4 abdc 4- 4 « ■ e\
et , par suite,
, , [bd — 2. (te)- — b'' d-
ae""- — bde = y—^ —
4^ Donc
[bd — lae'f + ^acd'' — b'^-d-
cd' -h Clé' — bde =.
et enlin l'équation i3) devient
{bd— inef ^ {b' — /^ac){^af—d')
on en conclut
bd — lac I 7 — V
sfbTz:
et l'équation (16) du couple de sécantes devient aussi (18) Q.ay -h bx ->r d±[x sjb^ — ^oc -tr sjd"" — ^af) = o. IV. Si les coniques sont concentriques, leurs points d'intersec-
l58 CHAPITRK yUATRlKMK.
lion sont les soinuiets iVun parallcloifrainnie ; donc — doit èlro le
même pour les deux droites de chacun des couples qui en forment les côtés opposés. Par conséquent deux des trois valeurs de \ doivent donner
b- — ^ac = o,
et cette quantité , qui est du second degré en / , devant alors diviser le premier membre de l'équation (i 3) , considéré comme polynôme du troisième degré en > , le quotient du premier degré que Ton obtiendra ainsi sera évidemment, ainsi que le dividende
cd' -+- ac' — bdc -hf( //-' ~^ac) et le diviseur
• une fonction commensurable des coefficients A, B, C, . . . , A', B' . C, . . . , des équations données; il donnera donc pour "a une valeur commensurable qui correspondra au système de sécantes non parallèles , c'est-à-dire aux diagonales du parallélogramme.
Quant aux couples de droites parallèles, Tcqualion de chacun d'eux sera de la forme
(19) aa/ -f- Z>.rH-<-/dr y/c/'^ — 4«/= o,
puisque b^ — /^ac = o. Si les courbes sont concentriques, il vaut mieux déterminer 1 par la forme d'équation (l'y que par la forme (i3). En effet, la relation
b^ — ^ac
qui est vraie pour les trois racines de l'équation en À , fait voir que les deux valeurs de a qui annulent le dénominateur b'^ — 4'^^» donnent aussi
bd — 2 «r =^ o ;
comme ces deux expressions sont du même degré en \ , elles ne doivent différer que par un facteur constant R. Soit donc
bd — 2 rtc =r K ( b' — 4 ^^)i
APPLICATIONS MATIII-MATM^HIKS. I J()
nous aurons
tic sorte (|uo I rqiiatif)n (17) prendra la forme
K^ {b' — ^ac) + ^af— d'
après qu'on aura divisé le numérateur par b'^ — ^ac.
Il faut bien observer que, dans le cas des courbes concentriques, le numérateur de l'expression précédente doit être divisible par fl- rr= A -4- > A' : en effet, nous avons vu que, le polynôme cd^ H- ae- — bdc -{-/{ h- — 4 "^) étant divisé par b'' — ^nr, donnait un quotient du premier degré en X; or ce quotient, qui est
K''lb' — /iac)-+-Anf—dreprésente par — ^^ — — ï — -^-^^ , ne peut être du premier degré que si a divise le numérateur.
Comme exemple de ce cas particulier, nous prendrons les équations
3j^ — iqxy ■+■ 8x- -h 9-j — Sx -+- 3 = 0,
7 j' — y.Gxj ■+- 1 7 .r- H- 6j — j^x 4-3 = 0,
qui sont traitées dans l'ouvrage de MM. Delisle et Gerono. Nous aurons, dans cette circonstance,
ce qui donnera
bd — 2ae = 20 f 2 a- -|- 3 a 4- i ) et
b' — ^ac= 1 00 ( 2 >,^ -t- 3 ). -f- I ) , d'où l'on tire
(Ici l'on aurait K = -, mais il vaut mieux calculer ce qiujtienE directement.)
l6o CHAPITRF QUATRIÈME.
On a aussi
Le quolienl cherche sera donc
Tel est ce quotient (hi premier degré qui correspond aux diagonales du parallélogramme, el qui donne
quantité commensurablc , comme elle doit l'être.
Du reste, les autres valeurs de > seront aussi commcnsurables dans cette circonstance. Elles seront données par récjuation
b'' — ^ac ^=1 o ,
(jui a pour racines
Pour la première de ces valeurs, on trouve
(*) Il s'agit ici de trouver l'expression de 4 "f— d- pour une valeur quelconque de / , car la relation
[bd — 2 ae y
n'est généralement vraie que pour les valeurs de / qui résolvent les équations (i3) ou (17).
On a vu que ces deux équations n'en faisaient qu'une : la seconde forme ]3resente un numérateur du quatrième degré , mais elle a l'avantage de mettre en évidence les facteurs qui peuvent exister entre bd — lae et les quantités 4 af — d^ ou 6' — 4 '"^- Si l'on découvre ainsi un facteur commun dans le numérateur, il donnera une racine de lequation en / , à moins qu'il ne se réduise à a := A + / A', auquel cas il supprimerait seulement le dénominateur. Si pourtant , après cette suppression , le même facteur a se présentait encore , il donnerait cette lois une racine de l'équation en /.
APPLICATIONS MATHKMATIQITF.S. I tï 1
et l'équation (19) devient
— 8 J -+- I7..r — ^zh \ =: n,
ce fini donne
3r- — I rh I
Pour lautre valeur 1 = , on trouve
\ d- — 4 ^/^= — ^ ^f J = — '^ — I dz ?. . Kn conjbinant ces couples de sécantes, on ironvc les points com - Duns qui ont pour cordonnées :
Le premier et le quatrième, le second et le troisième sont les sommets opposés du parallélogramme.
V. Nous indiquerons encore l'exemple suivant qui se rapporte an cas général où les courbes ont deux points communs :
(i) M = 4j^ — la.xj -h l'j x'' -{- 8 y — 28^7 — 20 = 0,
(2) M' =x- — 3 j — 5 j: H- 4 = Oî
(3) gVH- 321 V-f- 704). + 4096 = o,
ion q337 2io3qio
on trouve une seule racine réelle; les calculs trigonométriques donnent, comme on l'a vu à la fin du n°62,
r= -65,57865, et, par suite,
T,'(''(jii;tli()n (iH) dcvionl iilors
Sj — 11. r + 109,2453 = ±: (20,28 j; — 120,162).
Fn combinant ces cqualions avec récjuation (2) cjni est ici la plus simple, on reconnaît qtie lo signe — donne nne intersection réelle; donc il est inutile d'essayer le signe -+- (pii ne donnerait qne des |)oints imaginaires, pnisqne l n'a tpi'nne valeur réelle : l'équation de la corde comminie est donc
8 )- = — 8 , .îS.*' + I o , c) 1 67 .
La combinaison avec recjuation (2) donne pour coordonnées des. points cherches
.r' — i,()4, r' = — o,Hz|5<) et x" — — o,o5, j"=r 1,^137".
6iî. Usage des Tables. — Les questions précédentes nous montrent que l'on emploie souvetit les logarithmes même dans des questions qui paraissent d'abord ne pas cr» dépendre : nous croyons donc pouvoir donner sur l'usage des Tables quelques avis qui peutêtre sembleront jiuérils, mais dont l'application et, par suite, l'utilité se présentent à chaque instant.
I. Quand on cherche le logarithme d'un nombre composé de plusieurs chiffres, on sait que les Tables de Callct donnent immt diatemenl ce logarithme pour les cinq premiers chiffres, et même j)our les six premiers, quand ces chiffres sont compris entre 100000 et 108000 ; on sait aussi que l'augmentation du logarithme, due à un chiffre de plus, se trouve dans la dernière colonne, qui est celle des différences. Mais on peut souvent obtenir l'accroissement dû encore à un autre chiffre ou même à dcii\ autres chiffres.
Soit, par exemple, à chercher le logarithme de i85, 02761): la caractéristique sera 2, puisqu'il y a trois chiffres entiers; ensuite, les cinq premiers chiffres î85o2 donnent 2,2672187. La différence la plus rapprochée est 235, qui donne, pour le chiffre suivant 7, l'accroissement j65. Maintenant, pour calculer l'augmentation due au 6 qui vient après, nous remarquerons
APPLICATIONS MATflhiMATIOl K.S. 1 ()3
ijn'clle sera dix fois moindre que si ce cliiffie cxpriiimil des unités de l'ordre immédiatement supérieur, auquel cas celte augmentation serait i4i dont le dixième est 14,1; nous ajouU rons donc i4 pour tenir compte du 6. Enfin le 9 donnera un accroissement cent fois moindre que s'il exprimait des unités cent fois plus i;randes; nous prendrons donc le centième de 212, ou bien 2,12, et nous ajouterons 2 pour tenir compte de (). Les autres chiffres, s'il v en avait encore, ne pourraient influer sjir le iogaritlime ; voici donc le tableau i\u calcul :
Soit encore à chercher le logarithme de 10128,3647 ' co™»i<^ les premiers chiffres sont compris entre 1 00000 et 108000, on aura ce logarithme avec huit décimales. Le logarithme de 10128,3 étant 4>oo553656, on olitiendra, comme ci-dessus, le tableau suivant :
4 ,oo5536'")()
9J7 pour 6
i 7 pour 4
3 pour ^
IL II faut maintenant résoudre le problème inverse, c'esl-àdire : Etant donne an logarit/unr, trouver le nombre correspondant avec le plus de chiffres possible.
Soit 2,2672368 le logarithme proposé; la partie décimale qui s'approche le plus en moins de 2672368 est 2672187 qui donne le nombre i85o2, et la différence est 181, comprise entre les nombres i()5 et i88, dont le premier donne 7 et l'autre 8 : mais nous prendrons le chiffre 7 et nous retrancherons i65 de 181 , le reste est 16. Cherchons parmi les nombres de trois chiffres écrits aux différences, celui dont les deux pr< niiers s'approchent le plus
l64 CHAPITRE (MIATRIKMK.
en moins de ib; nous aurons ainsi le iiombro 14 pour lis premiers chiffres de i4i > ccqui donne lechiffreG, Enfin, retranchons i4 de i(î, il reste 2 : cherchons parmi les différences de trois chiffres celle qui commence par .> ; nous trouverons 9 pour dernier chiffre du nombre. Voici le tableau du calcul : 2, 7.67? 368
Ainsi le nombre ((uia pour logarithme 2,267?.3G8 est 185,02769. Soit encore le logarithme 3,674^295 ; celui des Tables qui s'en approche le plus en moins est 6748336 qui correspond à 4720)7. La différence est 5c) qui donne le chiffie() pour 55 : retranchons 55 de 59, il reste 4 > compris entre 3,; et 4^6; le premier de ces deux nombres donne le chiffre 4> c^ le second le chiffre 5. Donc, d'après le tableau suivant,
le nombre correspondant au logarithme cherché est 4729,764. Ici les différences n'ayant tjue deux chiffres ne peuvent donner au nombre que deux chiffres nouveaux.
III. Les logarithmes des nombres plus petits que l'unité sont négatifs, maison évite toujours l'emploi des logarithmes entièrement négatifs, et l'on cherche à faire en sorte que leur caractéristique seule soit négative et que la partie décimale soit positive : cela tient à ce que l'on ne trouve dans les Tables que les parties décimales positives des logarithmes.
APl'I,l(.Arilh\S MAI niMA I K^iUtS. 1 65
Aillai , (lKi(lit>:i> le loj^.Millmic (le ■- : iiuiis (levons icIimiicIki'
If l(t|j;.iiilliim' (lo 3 de icliii tlo 2 : mais cDiiinif le rtsuUal sciail négatif, nous (ijoulcioris ciii logarithiiic du nniiirratear assez d'unitcs pour ifuc la soiistnution j/uissc se Juin; ; (.■iisuitc nous nu't- Jions fo nombre d'unitt'S on caractéiisliiiuc nt'-j^ativc.
Dans l'cxoniplc aduol , il suflira (rajouter i, ce (iiii doiim
I 4- L 2 = I , 3o I ()3oo L 3 = 0,4771213
IV. L'extraeiiun des racines pr(}sente quelque dillicuitt', quand la caiacté'risfitiue nei^ative n'est pas divisible par l'indice de la
racine. Ainsi supposons (jue 1 on (kuuande V/ ^ ; il faudra prcn-
•> dro la moitié du logarithme de - •, ce (jui sera embarrassant , puisque — I n'est pas divisible par 2. Il faut alors ajouter assez d'unités pour que la caractéristu/ue soit divisible par l'indice du radical; puis, par compensation, on ajoutera positivement autant d'unité'S qu'on en a introduit négativement; ainsi l'on |)osera, en ajoutani et retranchant i :
o ,8iG49<J.
V. Le complément I()garithmi(pie d'iui nombre, c'est-à-dire le reste que l'on obtient en retranchant de 10 le logarithme de ce nombre, est facile à obtenir, car tous les chiffres de ce conipléincnt s'obtiennent en retranchant de t) le chiffre correspondant du logarithme , excepté le dernier à droite que l'on retranche de 10. Les com|)lémenls sont employés pour changer en additions les soustractions de logarithmes que l'on peut avoir à faire; seidemenl
l6G CHAPITRE QUATRIÈME.
il faudra letrancher de la somme autant de fois lo que l'on a pris de compléments: c'est ce que l'on fait, par exemple, dans la formule qui dorme
en foncli(ii) des otites du triangle.
VI. Pou)- écrire promplemcnt les logarithmes sans les copier «liiffre ])ar chiffre, il est bon d'observer la manière dont ils sont <lisj)osés dans la Table : un lf)garithme de sept chiffres est divisé en deux groupes, le premier de trois chiffres, le second de quatre , <|u'il faut énoncer séparément et écrire successivement. Ainsi le logarithme de 364 12 ^^^ %^' (sauf la caractéristique) à 56 12445 : les trois premiers chiffres 56i, communs à plusieurs autres logarithmes, se trouvent au moyen des quatre premiers chiffres du nombre, et les quatre derniers 2445 se trouvent par le chiffre 2 écrit en haut et en bas de la page. On énoncera donc le lojjarithme de la manière suivante : ci/tq cent soixante et un , deux mille quatie cent quarante- cinq ; de cette façon deux lectures suffiront pour transcrire le logarithme.
Pour les lignes trigonométriques , les chiffres sont groupés d'une manière un peu différente. Si l'on cherche , par exemple, le logarithme— sinus de i()" 42' 20", remarquant que la caractéristique 9 est généralement connue d'avance, nous ne nous occuperons que de la partie décimale (pie la Table présente disposée ainsi qu'il suit : 458i4-63, et nous l'écrirons facilement au moyen d'une seule lecture, en trionçunl : quarante-cinq mille huit cent quatorze , soixante-trois.
VU. Relativement aux lignes trigonoiiiétriques, nous rappellerons encore un principe bien connu, mais qu'on est porté (juclquefois à négliger par distraction ; c'est que les corrections pour les lignes inverses, le cosinus et la cotangente, doivent se faire par soustraction , et non par addition, comme j)Our les lignes directes, le sinus et le cosinus.
VIII. Enfui , nous remarquerons que la Table donne les logarithmes de seconde en seconde pour les sinus et les tangentes de o à 5 degrés, et pour les cosinus et les cotangentes de 85 à go de-
ai>pi.u:atm)ns .'m miilmatiouks. i6t
grés, ce qui est ncccssaire pour les arcs rap|irocli«s tlis extr<Miii- U'S du quadrant, quand on a besoin d'nnr jurande précision.
On n'a pas mis dans la Table les lojjîarithnies des tanj^entes i\r 85 à ()o deyrcs, parce qu'il est facile de les ohunir ,iu nioven des colangentes; en effet, la relation
tanij; a col y. = i doiMie
L lanj^y. = 30 — L cul y. ;
tout se réduit donc à prendie un conqjlement.
Si l'on demande le logarithme de la tangente de 86° 35' 44'? on cherchera le logarithme de sa cotangente , qui est égal à 8, 7754285, et on le retranchera de 20 , ce qui donnera
On n'aura même pas besoin d'écrire 8,7754285, on se conlentcia de lire ce logarithme dans la Table et de prendre le complément de chaque chiffre.
On trouvera de même les logarithmes des cotangentes des an • gles de o à 5 degrés au moven des logarithmes de leurs tangentes.
Quant auK logarithmes de seconde en seconde pour les cosinus de o à 5 degrés et pour les sinus de 85 à 90 degrés, on ne les trouve ]ias dans la Table; mais il aurait été inutile de les mettre, parce que les différences qui leur correspondent sont trèspetites et que les variations de ces quantités sont peu sensibles, même dans les Tables ordinaires de 10 en 10 secondes. Aussi la proportion ne peut-elle donner les angles correspondants avec la )irécision que l'on obtiendrait si ces différences étaient plus considérables : les Tables de 10 en 10 secondes suffisent parfaitement dans ces circonstances.
C'est pour cela que nous avons déjà fait observer au n"32, que l'usage des sinus était j)lus avantageux que celui des cosinus pour les arcs très-petits, et celui des cosinus pour les arcs trèsprès de 90 degrés.
IX. Voici quelques corrections à faire aux Tables de Callet; lis fautes que nous signalons ici , d'après les Nouvelles Annales de Mat/ié/iiafif/Kcs ["SIavs iS5']], sont dans l'cdition de 1827 et les
ï68 CHAPITUE OUATRIÈME.
suivantes, (juoiqii'elles ne se trouvent pas dans celle de 1795 :
