I. Considérons d'abord un faisceau de rayons parallèles tom

Fig. 3o. bant sur une portion AM de miroir sphé-

rique concave [fig. 3o). Soit OA celui

de ces rayons qui passe par le centre O

de la sphère; menons arbitrairement par

OA le plan de la figure, et soit dans ce

]ilan un rayon SM qui rencontre l'arc de

grand cercle AM en un point M très-rap-

proclié de A. La normale, c'est-à-dire le layon OM, faisant avec SM

ef avec OA l'angle / d'incidence, on sait que l'angle de réflexion

OMF, conq>ris aussi dans le plan <1<' la figure, sera encore égal à i.

AIM'I.ICATIOIV.S l'HYSIyUtS. I Hi )

Mais rot aiii^lo / ctaiU très-petit, puis(|iu' iM est très-iapproclic de A , je dis que le point F où MF rencontre OA est sensiblement le milieu de ce rayon OA do la s|)hère.

En effet , soit FP perpendiculaire sur O.M : nous remarquerons que le triangle OMF est isocèle, puisqu'il a deux angles égaux ; <lonc

OP ^ a,

la étant le rayon 0!M ; par conséquent,

n =r OF cos / :

mais l'angle / étant très-petit, son cosinus est presque égal à l'unité, et il reste

OF = a.

Aussi le milieu du rayon de la sphère parallèle à la direction commune des rayons lumineux s'appelle /"«/<?/■, parce que c'est là que se concentrent, pour les rayons voisins, la chaleur et la lumière émanées du soleil dont chaque point nous envoie des faisceaux parallèles, à cause du grand éloignement où nous en sommes.

II. Cherchons maintenant l'image d'un point lumineux quelcon-

Fig. 3i. que P (7%. 3i). Joignons PO, qui

rencontre le miroir en A, le rayon

OA de la sphère étant toujours égal

à 2«. Soit PM un rayon incident

qui rencontre le miroir en ]M de

telle façon que, dans le plan MPA

^x de la figure, l'arc AM soit très- petit.

Ce rayon incident et le rayon réfléchi MP' font avec la normale

OM le même angle /, et comme MP' est dans le plan de la figure,

cette ligne coupera l'arc POA en un point P' ; il faut prouver que

les rayons incidents qui s'écartent peu de l'axe ont des rayons

réfléchis qui passent sensiblement en P'.

Nous avons l'angle

O = / H- P et aussi P' =

donc

igO CHAPITRE CINQUIÈME.

Comme tous ces arcs sont très-petits, nous pouvons les remplacer par leurs tangentes : la figure nous donne

„ MN ^ MÎV , MN

en appelant MN la perpendiculaire abaissée de M en N sur l'axe PA. Mais remarquons que nous pouvons aussi négliger la quantité AN par rapport aux distances NP , NO, NP', qui sont beaucoup plus grandes; nous j>ourrons donc remplacer, dans les dénominateurs des expressions précédentes, NP par AP=:/», NO par AO = 2a et NP' par AP' = /j'; nous remarquerons même que ce changement diminue la valeur des tangentes en augmentant leurs dénominateurs, et donne, par conséquent , une erreur en sens inverse de celle que l'on commet en prenant les tangentes à la place des arcs, puisque les tangentes sont plus grandes que les arcs.

Nous aurons donc, en supprimant le facteur commun MN , la relation

1 I II , . I i :

— — =: ou bien — I ^^ = - •

Nous aurions pu trouver directement, par un raisonnement

analogue, la position du foyer principal F; mais on la retrouve

comme cas particulier de la formule précédente , en supposant

/; infini : il reste alors

Les points P et P' s'appellent /ojer^y conjugués , parce que l'un d'eux est 1 image de l'autre. En effet, la figure montre que, si P' était un point lumineux , réciproquement son image se trouverait en P; la formule indique la même symétrie entre p et p .

On peut observer que ces foyers conjugués divisent hnrmoniqucment la droite AO , c'est-à-dire que l'on a