AP=/>, AP

et les données (|uc nous avons prises ont l'avantage de rendre R , p et /?, tous trois positifs.

L ani'le d'incidence est

i — CM P

196 CHAPITRI' CINOUIÏMK.

et l'angle di; rrlVarlioii

mais comme ers angles sont liès-petits, au lieu de la formule connue

^in / = // si II /,

nous pouvons roiic

Mous avons, du reste,

P = C + / et P, = C + r.

l.n première égalité devient

P — C -I- ///■ m C + « (P, C) = // P, — (rt — l] C,

d'où l'on tire

Si le point luuiineux Pavait été placé au delà du centre, P, aurait toujours été compris entre C et P; cependant la figure aurait été un peu différente, mais le résultat eût été le même, conmie il serait facile de s'en assurer directement.

En remplaçant les arcs très-petits P, , P et (; par leurs tangentes ^ comme on a frîit pour les miroirs, la formule

,il\ — P — i/i — i) C

devient

II. Celte formule sciv ira généralement à passer li un milieu à wn autre, et elle sera facile à modifier suivant les circonstances. Si la surface sphéiiquc de sé|)aration tourne sa convexité vers !e point P, changez le signe de R, puisque C et P seront alors de côtés opposés du point A. Si le rayon lumineux passe du verre dans l'air, an lieu de passer de l'air dans le verre, changez n en

— : quant an signe de yj, , il seia déterminé par la formule elie-

mème.

Supposons que l'image virtuelle trouvée en P, serve elle-même

AIMM-ICATIOA,-- I'aVSI«^»l]K.S. H )-

d'objet, lo rayon rofracfi' MR soitaiit du vciit pour rintrcr dans

l'air par une nouvelle surface sphcriquo de st|)aratiou ronvoxe

vers P,; il faudra faire à la fois les deux chanf^einents (pio nous

venons d'indiquer, ce (|ui donner.i

«/? ~yÂ~ — R' "

Ici R' est le rayon delà nouvelle sphère; le point P,, (jui tout à riienre était Timage, doit être maintenant regardé comme l'objet, et la seconde image sera en P' {/îg. 36).

On voit qu'il s'agit de chercher le point P' où la ligne d( s deux

centres C et C est. coupée par la direction prolongée du rayon emer;;cnt MF. à travers une lentille biconcave. Seulement, afin ([ue les deux formules puissent coexister, il faut admettre, ainsi que pour les autres lentilles, que le point lumineux P est placé sur ce, et aussi que Ton peut né.;',liger l'épaisseur de la lentille, puisque la réunion des formules suppose (jue A et A' sont confontius en un seul point.

La seconde formule devient

ITk'

Ajoutons la première lormule

P^ afin d'c'limiuer /^,, il reste

■Ms-n-,

19^ CHAPITRE rlNQUlÈMK.

On en conclut

donc p' est toujours positif, c'est-à-dire compte de A en C Ainsi, dans une lentille biconcave, l'image est toujours virtuelle. Le maximum de p' aura lieu pour j) zzzzo . Soit alors

AF = a

ce maximum de //, on trouve

et la formule devient

P' P^ " Comme les rayons lumineux peuvent venir du côte de C aussi bien que du côté de C, on conçoit qu'il existe un point analogue F' vers C, et comme les distances AF et A' F' sont égales, puisqu'elles sont données par la formule

il en résulte que les deux foyers sont à égale distance de la lentille^ même quand R et R' sont différents.

Ici la lentille biconcave étant divergente, ces deux foyers principaux sont eux-mêmes virtuels.

III. Pour passer ù la lentille biconvexe, il suffit de changer les signes de R et de R' et la formule devient

en posant toujours

( * ) Dans la plupart des Traités de Pliysique, on écrit la formule de la

APPLICATIONS PHYSIQUES. I OU

Ici j) = ce (lonnr

foyer principal réel , où se réunissent la chaleui el la luniiéic du soleil.

Cette formule

P P' ~ « tlonne

III ap

-= et // = ^

On voit que p' est négatif et réel si ti <^p^ mais positif et virtuel si a^p. Enfin, si az=zp, on trouve

résultat inverse de celui qui donne

p' =. a pour p =: ce ■

En effet, les quantités p et — // sont réciproques, c'est-à-dire que l'objet et l'image échangent leur position, comme pour les miroirs.

Si les deux centres des faces de la lentille étaient (lu même côté que le point lumineux , on aurait

La lentille serait divergente si R'^^R, et convergente si R'<^R. On sait, en général, qu'une lentille est divergente quand elle est plus épaisse aux bords qu'au milieu, et convergente dans le cas contraire.

lentille biconvexe de la manière suivante :

mais alors il faut regarder/? et p comme tous deux positifs, quand ils sont comptés de côtés opposés de la lentille. Du reste, f> el — /?' sont toujours symétriques dans noire formule.

200 rHAPITRK CINQUIEME.

Pour trouver la formule dans le cas où les deux contres sont dn côté opposé au point lumineux, il sufKt de changer les signes des rayons R et R', ce qui donne

Dans la première formule, R représente le rayon de la circonférence la plus rapprochée du point lumineux. C'est le contraire dans la seconde.

Si Tune des faces était plane, le rayon correspondant, R' par exemple, serait infini , et l'on aurait

IV. Nous allons maintenant faire voir que, si l'axe delà lentille passe par l'objet, et si d'ailleurs cet objet est une ligne droite suffisamment petite et peu inclinée sur l'axe, l'image est une droite parallèle à l'objet.

Pour démontrer ce résultat, il n'est pas nécessaire de considérer la lentille elle-même, mais seulement le passage d'un milieu à un autre; car la proposition étant établie pour un indice de refraction quelconque, sera vraie pour le passage de l'air au verre, puis du verre à l'air, et se trouvera démontrée pour la lentille.

Du centre C de la surface sphérique qui sépare les milieux Fifj 3-. iJ^^- 37). menez un plan perpen-

diculaire à l'objet SP , et qui coupe cet objet lui-même en P, parce que SP étant peu incliné sur l'axe de la lentille et rencontrant cet axe, les plans menés perpendiculairement à la direction de SP par les différents points de de l'axe, tel que C, rencontrent SP, ou du moins en passent à une distance très-petite.

Soit donc SP l'objet ou la portion d'objet perpendiculaire au rayon (;A = R, soit AP = /'; nous avons trouve l'image du

M'PI.ICATIONS l'HYSIQUKS.

poiiU P j)ar la ronniik-

dans laquelle AP=ya, et n est l'indice de réfraction en ])assant de l'air, où est le point lumineux P, dans le verre terminé à la surface AM. Nous pouvons aussi chercher directement l'image de S en joignant SC prolongé jusqu'à la surface en B, et écrivant la formule

dans laquelle

BS = .? et ES, =:,v,.

3Iainlenant du point S, abaissons sur CA la perpendiculaire S, P,, il faur prouver que le pied P, de cette perpendiculaire est l'image du point P.

L'angle C des triangles CSP, CS, P, étant très-petit, on en conclura, comme dans le passage correspondant de la théorie des

miroirs,

es :^ CP , d'où .y = p ,

de même

CS, =:CP,, d'où AP, = ^, ;

donc la formule

devient

AP

ce qui, par comparaison avec

n I n — I p, /?~ R ' donne

AP, =/;,

Ainsi, l'image de la droite SP est une droite parallèle S, P. D'après ce (pie nous avons vu au commencement de cet article, cette

proposition est vraie, non-seulement pour le passage d'un milieu à un autre, mais pour l'image due à la lentille elle-même,

V. Pour reconnaître si l'image obtenue à travers une lentille est droite ou renversée, et si elle est plus grande ou plus petite que l'objet, il suffit généralement de considérer la construction géométrique de cette image telle que nous la ferons bientôt. Cependant nous allons établir ce rapport d'une manière générale.

Voyons d'abord ce qui arrive au passage d'un milieu à l'autre {fis- 37)- Les triangles semblables CSP, GSiP, donnent

h CP R — p

h, CP, R-/?,

en posant

SP = /i, SP, =//,.

De plus, la formule

donne

lu

et, par conséquent ,

donc

et l'on trouve

Prenons toujours, comme nous l'avons fait jusqu'ici, l'exemple de la lentille biconcave; l'image définitive sera h', et //, deviendra

l'objet. Nous prendrons p,, — R' et - à la place de p, R et n.

La dernière formule devient donc

h' R' \/i / nli'

APPLICATIONS PHYSIQUKS. ioS

Mais nous avons

n R H- ( « — I ) ;, ' ce (|iii donne

K , R/^(^/ - i) RR^+ [n — i)/;(R 4- R')

ot enfin , puisque

on trouve

ou bien

h' ~ RR^

ce qui revient à

Cette formule fait voir que, pour la lentille biconcave, l'image sera toujours virtuelle, puisque le rapport — étant positif, cette

image sera toujours du même côté que l'objet. De plus — ^ i,

c'est-à-dire h '^ //, ce f[ui prouve que l'image est toujours plus petite que l'objet.

En changeant convenablement le signe de R ou celui de R', on aura les résultats analogues pour les lentilles convexo-concaves et concavo-ronvexes. Enfin , si on les change tous deux , on a la formule

ou bien

II' a

relative à la lentille biconvexe, et que nous dis<'iilcroiis bientôt.

204 CHAl'ITRK CINQUIKMK.

VI. ^ous devons encore nous occuper d'un point très-important dans la théorie des lentilles, et rpie Ton appelle le centre optique.

Lorsqu'un rayon lumineux tombe sur un milieu à faces parallèles, il se dévie entre ces deux faces; mais l'on sait que le rayon émergent est parallèle au rayon incident. Or il existe dans une lentille de forme quelconque un point tel, que tout rayon réfracté (pii y passe correspond à deux rayons, l'un incident, l'autre émergent, qui sont parallèles entre eux.

Pour trouver ce point , menons les rayons parallèles CM , -''Ht- ■^S- CM' (/^. 38) et joignons

Am MM', qui coupe CC en O ;

nous aurons