Revenons maintenant à l'équation

70 X* — i4o.r' H- go a' — 20 .r + l =0,

dans laquelle nous avons déjà séparé les quatre racines au moyen du tableau des dixièmes, et cherchons à en approcher davantage par celui des centièmes; nous considérerons d'abord la première racine comprise entre o et o , i .

On a obtenu , pour x z= o et A o; = o, 1 , les valeurs

A^ = — 0,588 et A'=o,iG8.

Cherchons maintenant

Ici (Al-)' rzr 0,0001, A:=: 70, ce (pil douilC

Y 1=63.0,000 1 := o,eo63.

Les relations obtenues deviendront A'* = 0,0000168, I 000 A'-* = A' — o , 2268 , 1 00 A'- = A- — A • -j- 1 00 A'^ -H o , 1 5246 ,

A= A- 10 A'- ioA'3 , ^-

Ces égalités serviront pour toutes les racines de l'équation proposée , mais pour celle que nous considérons entre o et o , i , et dont nous avons posé les valeurs de A, A- et A', on trouve

246 CHAPITRE SIXIKME.

ce qui donne le tableau suivant :

o,oi6355o

Oj^S^Sgra

o,ooooiG8

o,oi4oii4

o,oi32638

La première ligne de ce tableau , en y comprenant y\ = i , suffira ])our former toules les autres; en effet, on aura

c'est-à-dire qu'on obtiendra

en ajoutant — 0,0008148 avec 0,0000618; de même, on aura

o,oi6355o

en ajoutant 0,0171698 avec — o, 0008 r 48, et ainsi de suite. On trouvera enfin que la substitution de 0,07 fait changer le signe de r, de sorte que la première racine est comprise entre 0,06 et 0,07. Nous renverrons au n° Jô pour en approcher davantage, par la méthode de IXewton.

Voici le tableau semblable pour la seconde racine, comprise entre o,3 et o,4 :

o,oooo338

— 0 , ooo3 1 08

— o,oooo3;')3

o,o36()io5

Ainsi , cette seconde racine est comprise entre o, 33 et o, 34, mais plus près de o,33.

Nous calculerons encore la troisième racine, à partir de x=r 0,6 :

0,1414927 — o,o33Goi5

— o,ooiioS6

— o,oooo353

Nous nous dispenserons de former le tableau analogue pour la quatrième racine, qui s'obtient en comparant le coefficient — 2 de x^ dans l'équation proposée

avec la somme des trois autres racines.

Mais après avoir trouvé ces quatre racines , que nous indiquerons par x', .t" , x"'y x^^, suivant leur ordre de grandeur, nous remarquerons que

ar' -|- j:" = I et cpie .z" -\- x'" = i ,

2 |8 CHAPITRE SIXlÈlie.

obsorvaliun cjtii nous peimettra d'abaisser le degit; <le l'équation et (l'approcher davantage des racines.

Pour y parvenir nous poserons, comme nous l'avons fait à i;i fin du second chapitre, dans une circonstance analogue,

ce (pii nous donnera

cqiialion bicarrée, d'où l'on tirera facilement les quatre valeurs

^,iv. 0,9305681557970246.

Nous terminerons ces considérations sur la manière de former les tableaux des différences par la remarque suivante :

Ce serait une erreur de croire qu'un nombre est limite supérieure des racines positives d'une équation par cela seul que la ligne horizontale correspondante ne contient que des nombres positifs , ce qui fiiit qu'il en est de même dans toutes les lignes inférieures pour des valeurs de x plus grandes. En effet, il pourrait exister entre deux de ces valeurs un nombre pair de racines.

Ainsi l'equalion

dans laquelle la substitution de j: = 3, avec 1 x = i, donne

j-:=î, A =12, A- = 46 et A^^6,

a deux racines plus grandes que 3, qui sont, à un centième près, 3,21 et 3,22.

91. Nous n'avons parlé jusqu'ici que des équations à coefficients rationnels, qu'il est facile de ramener à n'avoir que des coefficients entiers : dans cette circonstance A"' jo étant constant et

INTKRPOI ATIO.NS. if^i)

Jes différences suivantes étant nulles, on exprime j„ ou Y par une série d'un nombre limité de termes. Mais il n'en est plus de même pour les équations transcendantes, auxquelles on applique d'ordinaire la méthode des différences.

Cependant , quand les différences d'ordres consécutifs vont en diminuant continuellement, on peut résoudre l'équation transcendante par le même procédé qu'une équation ordinaire. En effet, quand on aura fini par trouver une différence d'un certain ordre tellement petite, qu'on puisse la négliger sans sortir des limites de l'approximation que l'on désire, il est évident que toutes les différences suivantes seront également nulles , et que la différence précédente, à laquelle on arrêtera la séi'ie, sera constante.

Ainsi tout se passera comme dans les numéros précédents, sauf pourtant que les différences successives ne seront plus exactement divisibles par les nombres 2,3,4j5,..., qui se trouvent en dénominateurs dans les formules, comme nous l'avons vu à la fin du n° 89 ; cependant l'observation que nous avions faite subsiste dans la pratique, car il est clair qu'on ne doit pas calculer de décimales d'un ordre plus élevé que celles qui se trouvent dans la différence que l'on néglige.

Nous nous dispenserons de donner un exemple de solution pour une équation transcendante , puisque les calculs sont absolument analogues à ceux que nous avons déjà faits; mais nous appliquerons ce que nous avons dit à la construction des Tables de logarithmes , afin de montrer comment on trouve les différences négligeables.

Soient j = Lx , et h = Ax la différence constante entre deux valeurs consécutives de v ; on aura

j, = L (or 4- A ) = La: -h L ( I -H - j

= Lx -hU[ . + ___ ..,

d'où l'on tirera y-i, y^■,. ^ . , en mettant 2//, 3/^,..., au lieu

aSo CHAPITRE SlXlhME.

(le //, ce qui donnera

h le II'

On poussera ces suites, suivant la grandeur du nombre x, jusqu'à ce que la dernière différence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible, d'après la nature de l'approximation désirée.

Si l'on avail , par exemple ,

X = loooo et // = I ,

on trouverait, en se rappelant la valeur du module des logarithmes ordinaires, M = o,434 294 4^' 9*^3 aSi 8,

Aj>= 0 ,00004 34272 ■; 6863, A'jr = — o , 00000 00043 42076 , A'j = 0,00000 00000 00868,

et il est évident que, si l'on ne voulait avoir les derniers résultats qu'avec dix chiffres seulement, on pourrait, sans crainte d'erreur sensible, négliger longtemps les différences du quatrième ordre; car il faudrait qu'elles fussent répétées un grand nombre de fois pour influer sur la différence troisième. On formera donc une première ligne horizontale avec la valeur initiale j = 4 pour ■r = loooo, et les trois différences que nous venons de calculer, et dont la dernière est vegardée comme constante. D'après cela , on sait que le tableau pourra être continué assez loin , et l'on calculera les logarithmes des nombres loooi, 10002, loooS, etc.

Il faudrait faire le calcul avec quinze décimales, afin de reconnaître quand l'accumulation des quantités négligées pourrait influer sur le dernier chiffre qu'on se propose de conserver, ce dont on s'ajBsure au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés. Lorsque le dernier des dix chif-

1NTF.RP0LAT10?IS. y )l

Ires (lue l'on veut conserver cesserait d'être exact, ce qui n'auraii pas encore lieu pour le nombre ioo5o, on calculerait de nouveau à priori les différences ^y, A^j, A^/, et l'on se servirait des nouvelles valeurs comme des précédentes pour obtenir les logarithmes des nombres entiers cpii suivent celui au(picl on a dû s'arrêter.

92. Jusqu'à présent nous n'avons inséré entre les limites extrêmes To et .r„ =1 X cjue des valeurs de x en progression arithmétique; nous allons maintenant chercher la valeur de y correspondant à une valeiT de x quelconque, c'est-à-dire pouvant être prise en dehors de cette jjrogression

Xo, .To + 2 // , x„ + 3 //,... , X(, -h nh ,

dans laquelle h = àx est toujours constant. Cependant r devra être généralement compris entre Xg et .r„. Reprenons le développement connu

et qui se compose nécessairement d'un nombre limité de termes, puisque « est un nombre entier; car n -\- i substitutions ne peuvent évidemment donner de différence d'un ordre supérieur à A". On a , en général ,

en appelant .r au lieu de.r,, une quelconque de ces n -f- i valeurs attribuées à la variable indépendante. En effet, cette relation

/t = '■ — sera évidente pour toutes les valeurs de .r depuis x^

jusqu'à x„, c'est-à-dire pour tontes celles de /? depuis o jusqu'à n. La série pourra donc s'écrire sous la forme suivante :

.r — .r„ (.»; — x.,) {x — x, — h) y„=J. + —j^ AJ„ + -^^ A ,„

[x Xq) [x X„ II) [ -r X„— lh\

A'Jo-h ... 4- A"/,

Puisque ce développement a été obtenu en roiniant les ilitïé-

rences Aj„ , A r» » • • • ? rclatis es aux valeurs x^, Xt, Xj, »„ , il

est clair que, réciproquement, si l'on y substitue successivement ces n -+- I valeurs (le a-, on obtiendra les /t -\- i valeurs correspondantes jo , r, , /j, . . . , f„.

Cela posé, voici comment on peut étendre la formule à <les valeurs de x non comprises dans une progression arithmétique.

Puisque cette formule est vraie pour les n + i valeurs depuis Xo jusqu'à x„ = X, o/i peut admettre ( * ) qu'elle l'est aussi pour toutes les valeurs intermédiaires de x; A i o , A^ ro, . . . , conservant toujours leurs valeurs primitives. Seulement, pour une quelconque de ces valeurs de x. le rapport ne sera plus un nombre entier; c'est pourquoi on le représenle, en i^énéral , par z.

On aura donc

j = Xo+ zAfo -h -^ A-jo 4- -^ -^ -^ /o + • • •

en appelant^ la valeur que l'on obtient quand ou pose

X =: hz + .*•,., comme cela résulte de la relation

Avant d'aller plus loin, nous devons examiner quelles restrictions on doit reconnaître à la vérité de l'énoncé relatif aux valeurs de x intermédiaires entre a^o et .r„ , et sur lequel repose la formule précédente.

Nous remarquerons d'abord que ce théorème est rigoureusement vrai, si la fonction donnée y est un polynôme entier de

(") Saut' une restiictioii une nous verrons bieiilot,

INTFRPOI.ATIONS. 253

(Irgiv /// , par rapport à x , pourvu que l'on ait n ^//i. En effet, si n = ru , la dernière différence A,,), est constante, par consé- «pient les différences suivantes sont nulles : si n'^ni, la série des difféiences s'arrête avant A„ )„. Donc la relation

doit être rei^ardee ron)ine complètement identique avec le polynùn)e proposé

et l'on vérifierait dans chaque exemple de cette nature l'identité de ces deux expressions de j>-, en substituant

et en faisant quelques réductions : ainsi une valeur quelconque de.T, même au delà ou en deçà des limites x^ et x„, donne le même résultat de part et d'autre.

Mais si les conditions précédentes ne sont plus remplies, les choses peuvent se passer autrement. L'identité de la fonction

et de la série qui développe j en fonction de z, ne sera plus évidente, comme nous l'avons dit, que pour les valeurs de 7 qui correspondent aux II -f- 1 valeurs de x en progression arithmétique, et pour toutes les autres valeurs de x l'égalité n'aura lieu qu'avec une approximation plus ou moins satisfaisante.

Pour savoir si l'on pourra, en général, se contenter de cette approximation, nous remarquerons qu'elle sera d'autant plus sûre que la smie

y = y,+ z A Xo -+- -^ A^'o + -\ ' û' r, -H . . .

se rapprochera plus de ce qu'elle aurait été pour un polynôme entier de .r; nous aurions eu alors, dans le drrnier terme, une

différence qui serait restée constante, même si l'on avait continué la série des valeurs de .r dans la progression arithmétique et cherché les valeurs de / correspondantes avec leurs différences successives. Il faut donc, pour admettre l'approximation indiquée, que le dernier terme de la série contienne aussi une différence que l'on puisse à peu près regarder comme constante, afin que les différences suivantes soient négligeables, relativement au degré de précision que l'on veut obtenir.

Ainsi , pour faire usage de cette série

dans laquelle on a toujours

r = jo + z A/o-1 — — — A'joH rv~3 — ^'^°

il faut que les n + i substitutions des valeurs primitives de x soient assez nombreuses et assez rapprochées, pour que A" j„ puisse être regardé comme constant et les différences suivantes comme nulles : c'est-à-dire que, si l'on insérait après jr„ d'autres valeurs de X suivant la même progression arithmétique et si l'on calculait les valeurs correspondantes de y avec leurs différences, A"/o demeurerait constant avec une approximation suffisante, du moins dans un certain intervalle.

Enfin, nous rappellerons que cette formule ne s'applique que pour les valeurs de x comprises entre Xo et .x„, sauf cet intervalle où l'on peut étendre la formule.

Ce procédé est généralement assez expéditif, parce qu'on ne fait que le nombre de substitutions nécessaires pour arriver à A"jo = constante, et que le nombre « n'est pas d'ordinaire bien considérable quand les substitutions sont assez rapprochées. Comme application de la formule précédente, nous allons calculer le logarithme de

TT =r 3,1415926536.

Posons

et cherchons dans la Table les logarithmes de 3,i4; 3,i5; 3, 16; 3,17; 3,18; nous aurons le tableau suivant :

— o,ooooooooo3

o,499fiS-jo826

— o,ooooo.'|32i8

Nous n'insisterons pas sur la formation des différences qui est déjà connue.

En s'arrètant aux difféi'ences quatrièmes, on a la formule

z(z — l) j = jo + z Aj„+ -^ ' A'j,

(*) Il est facite de voir pourquoi nous écrivons ici

-> — :z-^ A'r» et non pas A*/»;

de même que, dans la formule générale qui donne f en fonction de z, nous avons écrit

-i i ' — ^"Xo et non pas A"/,,

comme dans la formule du n" 03. En ellct , la loi de formation des termes donne nécessairement

mais si « = n , comme dans le numéro cité , il est elair qiie

au contraire, quand 5 a une valeur qnelconqiic, ce cocflieicnt ne se réduit point à l'uuilé.

■-l56 CHAPITRE SIXIEME.

On a toujours

ici h =r 0,0 1, X = - ^ r^ = 3,i4, ce qui donne z =: o, 15926536.

Ensuite

Comme on connaît les valeurs déjà obtenuos

j, = 0,496929648 1 , Ajo = 0,00 1 3809057 , A'ja = — 0,0000043769, A'jo = 0,0000000277 , et

A* n, = — o,ooooooooo3, on trouvera

j = L.TT 1= 0,4971498726.

On peut donc au moyen d'une Table contenant seulement les logarithmes des nombres de trois chiffres, tels que 3i4, 3i5,..., avec dix décimales, calculer avec la même approximation le logarithme d'un nombre quelconque, tel que tt, pourvu que l'on connaisse également dix décimales de ce nombre.

On pourrait douter de cette approximation, parce que l'erreur est cent fois plus faible dans jo que dans z; mais les plus hautes unités de Ajo sont inférieures de deux rangs à celles de jo; cela fait donc compensation dans le terme z A Xoj où l'erreur est du même ordre que dans y», puisqu'elle se mesure en faisant le produit des plus hautes unités de l'un des facteurs par l'erreur de l'autre. On conçoit qu'il y aurait également compensation pour les autres termes de la série.

INTKRl'dl.ATIONS. 'f-S'}

95. Si // = A.r est livs-potit , il peut airivrr (|ii(' la série

y =.}„-f- zly„-\ 4—; — A-j,,

soit assez rapidement convergente pour qu'on se contente d'un très-petit nombre de termes. Si nous adn)ettons même que la différence première A^^ puisse être regardée comme constante, nous

aurons

ce qui revient à ou bien

y — y» __ ^jo

c'est-à-dire que V accroissement de la fonction est pruportionncl à

A >'o celui de ta variable, puisque ^^— est constant.

Telle est la proportion dont on fait un usage continuel dans les calculs logarithmiques, et qui sert à trouver quelques chiffres de plus des nombres ou des logarithmes.

Telle est aussi la base de la méthode que nous avons employée dans le n" 23 sous le nom Ae méthode des parties proportionnelles, ou de lègle de fausse position. Elle nous a servi pour obtenir des approximations successives, parce qu'elle ne peut généralement donner du premier coup une approximation suffisante.

9-4. Tout ce que nous avons dit sur l'interpolation au inoven des différences supposait n ■+- i substitutions faites i\ des intervalles égaux. Si, au contraire, les substitutions étaient faites à des intervalles quelconques, voici une méthode, due à Lagrange, (jui permet d'interpoler très-simplement dans ce c;is général :

Soient encore jo » J . > Jn • • •> Jn les valeurs de j qui correspondent aux n + 1 valeurs de x, cette fois non equidistantcs, -^0 > -^1 , -ï^o •• • » -^nj nous poserons

et nous chercherons à déterminer les quantités X„, X Prenons une quelconque d'entre elles X,^ ; il est clair que X^ doit se réduire à zéro pour toute valeur de x, autre que a : on peut donc poser

X,^ = A^ (.r — Xo) {x — ,r,) . . . (.r — .r„),

produit de tous les facteurs analogues, sauf x — x^.

Mais pour que x = x^ donne y = y , il faut aussi que X^^ se réduise à l'unité pour x = x^, ce qui donne

'- {^^. — -^0 j yx^^ — x,) \x,^ — x^).. .{x^ — ./■„ )

on a donc enfin

„ {x — Xq) [x — X^) (x — X^). . .{x Xn)

valeur générale d'où l'on tire celle de tous les coefficients : par exemple , on a

X — {^ — ^^){^ — ^2)- ■.{X- — X„) \ Xq Xfj ^Xq X2) . . . ( J'o •^11 )

Cette méthode consiste, comme on le voir, à remplacer par un polynôme de degré n la fonction dont on connaît n + i valeurs. Ainsi dans le n° 77 , la fonction j était l'accroissement de la longueur de l'année à partir de la valeur de l'année moyenne : nous savions que cet accroissement était nul à l'origine, c'est-à-dire que jTo = o donnait f^ = o; nous connaissions aussi les deux valeurs de j, 54 siècles avant l'origine, et 52,4 siècles après l'origine, ce qui nous donnait trois valeurs pour représenter y, au moyen d'un polynôme du second degré. Seulement cet exemple était tellement simple, que l'on a trouvé les coefficients par l'élimination directe, sans avoir besoin de la méthode que nous venons d'exposer.

9S. Pour bien faire voir que le problème de l'interpolation est essentiellement indéterminé, nous allons modifier la méthode précédente d'uue manière qui pourra d'ailleurs être utile dans plusieurs circonstances.

INTF.RI'OIATIOMS. ?.5f)

An lien de poser

en faisant le produit de tons les factonis de celte nature, excepté X — x^ , nous pourrions écrire

X,^ = A^^ . sin . n^ ( r — Co ) sin . ù^^{x — x,}. . . sin . w,^ ( x — .r„ ) ,

produit dans lequel figureraient tous les arcs analogues, excepté X — .r^, les coefficients «y.j/^^,?- ) "h^ étant complètement arbitraires.

En effet, il est clair que X^ , ainsi détermine, sera nul pour toute valeur de a: autre que j:^. Nous déterminerons encore A par la condition que x^ cionne y^ , d'où l'on tire

sin<7,^ (.r — .Ta) sin b^ (x — xi). . sin rn^^ [x — x„)

sin a^^ {.r. — Xo) sin b^^ ( .r^ —x,]. . sin ///,^ {x^^ — .r„ ;

Dans une autre expression de la même nature, les coefficients de multiplicité dos arcs pourront différer des nouîbres «^ , b,^,. . ., puisqu'ils seront également arbitraires.

On aurait pu employer les tangentes au lieu des sinus, et l'on aurait eu des formules analogues. Toutes ces expressions de r sont nécessairement égales pour les n -f- i valeurs qui ont servi a les établir, mais elles diffèrent plus ou moins pour les valeurs intermédiaires. Cependant ces discordances ne doivent pas être trop considérables, si les « + i valeurs de t sont assez rapprochées pour que rinterpoiafion soit susceptible d'une précision suffisante.

260 CHVPITUK SKPTIKMf..