JO

— o,ii3

Nous avons donc obtenu , par ces quatre substitutions directes, la ligne horizontale

qui correspond à

•ro, ro, Ajo, ^-'Jo, A\vo, ^'^y,,

et qui suffit pour trouver les résultats des substitutions de 0,4, 0,5, etc.; voici comment il faut faire pour les obtenir. Ajoutez

a'Jo=o»ï68 avec A\ro = — o,588,

vous aurez

que vous ajouterez encore à

((juantité connue par les substitutions), ce qui donne

Ajoutez encore

Ar .= o,9g5

INTERPOLATrONS. fSc)

(quantité également connue), ce qui donne

enfin , ajoutez

J 3 = — o , 1 I 3 , vous avez

)4 = o,?.32 pour j:, = o,4-

On ira ainsi jusqu'à

r,o = I pour .»-,o= I ,

en faisant toujours usage de la formule

-^/3+i -fî -'fi

(pii provient de la définition des différences contenues dans l'expression

La séparation des quatre racines étant obtenue entre o et i, il n'y a pas lieu de faire remonter le tableau au «lelà de a: = o ; d'ailleurs on savait d'avance qu'il n'y avait pas de racine négative. Cependant, afin de montrer comment on pourrait faire remonter le tableau, si cela était nécessaire, au delà de la première ligne horizontale, nous allons calculer >, pour x^ = — 0,1.

Remarquons que si l'on cfmnaissait A'j i , on le retrancherait de A'jo pour avoir A' /, , que l'on sait d'avance être constant et égal à o, 168 ; on aurait donc

A'7„— A''j, = A'j,, et réciproquement

Suivant toujours le même ordre oblique, on aura

en retranchant — 0,^56 de A'jo -— 1 ,o58, c'est-à-dire on ajoutant 0,756. De même i ,81 4 retranché de — i ,233, donne

Ar, = — 3,047;

240 r.HAPlTRK SIXIÈME.

et enfin, — 3, 047, letianclié de > „ = i , donne

On trouverait de proche en proche les lignes horizontales supérieures, si cela était nécessaire.

88. Pour séparer les racines, si l'on n'y était pas déjà parvenu, ou pour approcher davantage de ces racines, il faut maintenant, comme nous l'avons indiqué, faire des substitutions dont l'intervalle soit dix fois plus petit.

Nous allons reprendre l'équation

n(n — 1) , n{n — 1) (« — 2),, ,) „ =j, -+. n A jo -+- -J-^r^ ^' Jo+ -^ Y^ •^'° "^ • • •

-H « (n — I ) [n — 2 ) . . . ( « — m -\-\) ( A .r )'" A , et voir ce qu'elle devient quand on prend une nouvelle différence

A ar = j

le nombre a étant généralement égal à 10.

Nous supposons donc qu'entre les deux mêmes limites x^, et j:„ = X qui donnent les valeurs y^ et jn = Y, les substitutions soient maintenant en nombre n' =. an -^ les valeurs extrêmes X et Y de X et de j ne changeront pas ; mais les différences des divers ordres ne seront plus les mêmes, et d'abord la nouvelle différence de la variable indépendante sera

puisque l'on doit avoir

X = jc„ H- « A JT = .To 4- n' \' X , et que

n' =z rj,n.

Ainsi, en changeant, dans l'équation précédente, n en a//,

Ax en — 5 et en accentuant les différences des divers ordres,

INTKRPOI.ATIONS. :»4 I

on aura

cunicun — i ) , Y = ) „ + ^. // A'j-, -\ Y"^ '- ù '.> „ -f . . .

'a ît"'"' -\- xn[yLri — i ) . . .{y.n — m -i- i ) '^ A .

Voici donc le problème que l'on doit se proposer : Connaissant les différences A, A-, A ,. . ., ffui cnrrcspondent h

une certaine valeur de A.r, trouver les différences A', A'-, A'', . . .,

qui correspondent a

A .r rr:

Pour y parveriir, comparons la valeur précédente de Y à la valeur déjà connue

Comme ces deux expressions de Y doivent toujours être les mêmes, quelle que soit la valeur de n, on identifiera dans ces deux développements les coefficients de toutes les puissances de n, ce qui donnera un nombre suffisant d'équations pour déterminer A',

A'% A'',..., en fonction de A, A% A',

Nous remarquerons d'abord cpie l'on trouve dans cette comparaison deux termes qui sont identiquement égaux : d'abord le terme indépendant de n, qui est >„ de part et d'autre; ensuite le terme de plus haute puissance en «, c'est-à-dire de /«""" puissance, qui est d'un côté

/?"'(A.r/". A, et de l'autre

On voit que cela revient au même.

Kn égalant de part et d'autre les coefficients ilc n à la première

2/[? CHAIMTRI. SIMKMF.

piiissaHce , on aura

A- A' A +-^—...±1.2 3. . .(/«— i) (A.rj'^A

=raA' j-...±i2.3... ^ ^.A .

On aura en tout ni — i ('(juations do celle nature qui délei mineront A' *"-', -A' '"-%..., A", A', en fonction de A""-', A'"-%.,., A% A. D'ailleurs , il est clair que

89. Nous ferons l'application de celte méthode aux é(}uations du troisième cl du quatrième degré.

Soit d'abord l'équation du troisième degré. Les deux développements déjà posés deviennent alors

y = r„-f-«A -+■ " ^"~'^ A^-l- fi{ri —i){n — 2.)S,

c/.n(a.f/ — i) , un(u./i — i)fa« — 2) S

en représentant par 3 le produit ( Ax)'". A qui serait ici [AxY A. ^ous aurons les trois relations

A t-2^=raA' h

La seconde donnera

tt la troisième

Alais si l'on veut exprimer A' f n fonction de A et de A' seulemciif ,

INTKRPOI.ATIOr^S.

on trouve, en éliminant à'-',

aA'=.-(,~i)[^-^(.-A)

Si a = !o, on a les formules ioooA'^= A',

looA''=: A- ^- = A' — bv,

q A' 17 lô , Q A' ic>7 ioA' = A ■- h -^ — =A — -^ f- -— ^,

en posant 7

Passons à l'équation du quatrième degré , nous avons les deux développements,

H-rt(« — ])(« — 2)(« — 3)^,

Y = 7„-f xny-h

I c/.n'ya.n — i) aii[xn — ^)[^'i — 2) ,

dans lesquels

On aura les relations

6" là

A^ A^ , /A'- y ilJ\ |-H'î = aM 1 '

2 2 \l 1 rj} ]

A u Grî = a A' h ^ ^

2^4 CHAPIIKK SIMÎMK.

dont les trois tlcM'nières reviennent encore à

On |)oiirrait éliminer A'' et A'% afin d'avoir A'- et A' en fonetion de A, A' et A^; mais cela serait moins simple dans la pratlcjiie. Si a = 10, ces fornndes deviennent

(î. 22. qq

\' A' 10 A'' loA'^ ^.fi.qciQ

loA'=A h— + — 5 ^■— •

IMais posons encore 7 = =-— et il restera

y y ioA'= 10 A'^ 6667 loA'nrA h^H — ^ '- ■

Nons terminerons ce numéro par une observation qni s'étend aux équations de tous les degrés à coefficients rationnels, qu'il est toujours facile de ramener à n'avoir (|ue des coefficients entiers, en multipliant par le plus yrand commun diviseur de tous les coefficients. Voici cette observation , qui permettra souvent de reconnaître si l'on a commis des erreurs dans le calcul des différences.

Quand on divise une dilférence d'ordip cjiifk'on(|uo par 2,3, 4,5,..., enfin par le nombre «in'indique la formule, [U)ui' obtenir A', A'-, A'% . . . , cette division ne doit jamais donner defnictions décimales périodiques. En effet, s'il en était autrement, ces différences A', A'% . . . auraient plus de ehiffres décimaux (pie n'en comporterait la substitution de la valeur correspondante de jc dans le polynôme j à coefficients entiers.