DES TANGENTES

97, I. On nomme tangente à une courbe en un point donné , la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante que l'on fait tourner autour de ce point , jusqu'à ce qu'un second point d'intersection, se rapprochant indéfiniment du premier, vienne coïncider avec lui.

Soit

/(•^» j) = o l'équation d'une courbe à laquelle on veut mener une tangente par un point dont les coordonnées sont x' et y' ; nous commencerons par transporter l'origine en ce point sans changer la direction des axes; il suffira pour cela de changer .r en x -\- .t.' et j en j -h/'. La nouvelle équation pourra alors se mettre sous la forme

A .X + B ^r -f- C X- -I- D .rj H- E j' H- . . , = o ,

en développant tous les termes qui la composent suivant les puissances de j; et de j. Nous ne mettons point de terme indépendant des variables, parce que l'origine est devenue un point de la courbe. Il est clair d'ailleurs que les coefficients A, B, . . . , dépendent de x' et J-' .

Cela posé, une droite quelconque, passant par cette origine, aura une équation de la forme

y — ax,

et l'on reconnaîtra que cette droite est tangente si son équation est identique avec celle de la courbe pour des valeurs très-petites de .r et de y. Négligeons donc, dans l'équation de la courbe, le produit et les puissances supérieures de ces variables, nous