THÉORIK DES COURBES PLANKS
aurons
Ax -+- B/ = o, ce qui donne
'""l-=-B' tandis que l'équaiion de la droite nous donne
lini - r= rt .
En identifiant, nous trouverons
«t l'équation de la tangente sera
Cette méthode serait en défaut si l'on avait à la fois
Il faudrait alors recourir aux termes du second degré en négligeant ceux du troisième, ce qui donnerait
ou bien
jV D ) C
relation qu'il faudrait identifier avec le produit [y — ax) ( j — a'x) des équations de deux droites, ce qui donnerait
{^-)'~(a^a')'-+aa' = o;
(*) Soit
le coeflScient aiijjulaire de la taagentc, on voit que cela revient a écrire
Ici z est la valeur particulière du coefficient a quand la sécante devient (an- R*nte.
[. <:hai
on
pobciait donc
d'où l'on tirerait les équations des deux tangentes aux deux branches q;ie la courbe présenterait à ce point particulier.
Si les termes du second degré étaient nuls en même temps que ceux du premier degré , on aurait recours aux termes du troisième , et ainsi de suite.
Si le point donne était l'origine , comme on peut toujours le
supposer ainsi qu'on vient de le voir, l'indétermination de z = — —
tiendrait à ce que les valeurs z =z o, j = o mettraient z sous la
forme - : on peut alors lever cette difficulté en posant ()
- := t = tangto,
ce qui fait disparaître les facteurs communs au numérateur et au dénominateur de z, et donne l'inclinaison de la tangente pour chaque branche en particulier, suivant la valeur de w , si l'on représente par w l'angle que fait avec l'axe des x le rayon vecteur passant par l'origine, dans le cas d'axes rectangulaires.
II. On parvient d'ordinaire à l'équation de la tangente par la théorie des dérivées , c'est-à-dire par le calcul différentiel. Cette méthode ne diffère pas essentiellement de la précédente , mais elle permet de calculer plus facilement les coefficients dont nous avons parlé.
Soit T .jf v" un tenue quelconque de l'équation
il s'agit de mener une tangente à la courbe par le point dont les coordonnées sont X et y; celles du point infiniment voisin étant >• -i- /i , f -\- k , et tout se réduit encore à déterminer la limite du rapport de l'accroissement de ces variables , c'cst-à dire
lim -r-
TUKOIUE HKS COIIRBKS l'I.ANFS. aB'Ji
Nous trouverons cette limite en cherchant la différence
dans laquelle il suffira d'étudier ce que donnera le ternie quelconque
J.es termes qui contiendront les premiers degrés des accroissements seront
T X"' . ny"-'k + T j" . mx"'-'h ,
dont le premier représentera le produit de f( par la dérivée de T «"■ /" relativement à y, et le second le produit de h par la dérivée de T x'" y" relativement à x.
Comme il en serait de même pour tous les termes de l'équation
soient X et Y les dérivées de/(>r, y) prises respectivement par rapport à .r et à j-, nous aurons pour l'ensemble des termes du premier degré
ou l)ien , posant j = z , il reste
h (zY4-X).
On obtiendra de même , pour les termes du second degré ,
T.?-"' . "^^~ '^ 7"-- X--4-TWX'"-' . ny"-' ///-{-T 7" . '" ^"^~ ' ^ y"-^ h'-
L'ensemble de ces termes sera donc
X^ -f- M kh H h-, ou bien //M — z' 4- M z H |
en indiquant par X' et Y' les secondes dérivées dey(a:, y) par rapport à j: et à j", et par M la somme des produits analogues à T /n.r"'— ' . /z;^"— ' obtenus en prenant la dérivée par rapport à x , jiuis par rapport à y.
L'ensemble des ternies du troisième degré sera de même
la loi de formation des termes N et P étant facile à établir : on trouverait de même les termes de tous les degrés. Donc enfin l'équation
se réduit à
(Y" ^" — -z'-l-Nz'+PzH ) + , .. =0, 2.3 2.3/
en divisant par le facteur commun h.
Si maintenant on pose // = o, il reste pour le coefficient angulaire de la tangente
puisque l'on a
YzH-X = o(*).
Si l'on avait à la fois Y = o, X=:o, on diviserait encore toute l'équation par //, après quoi, faisant encore h = o, il resterait
ce qui donnerait les deux valeurs de z pour les tangentes aux deux branches qui se rencontrent en ce point de la courbe.
Dans ce cas, il peut se faire que les racines de cette équation du
(*) L'équation de la coiirhc étant
on a ainsi
dy
comme on le voit «l'ailleurs par la relation
THÉORIE DKS COUHBKS PI.ANK.S. 267
second degré soient égales : cela veut dire (jne les deux branches ont une tangente commune à leur point commun. Outre les relations
X = o, Y = 0, si l'on avait encore
il faudrait recourir aux termes du troisième degré, et poser
pour trouver les tangentes aux trois branches qui se coupent au point en question ; si les coefficients de cette équation étaient nuls en même temps que tous les précédents , on prendrait les termes du quatrième degré, et ainsi de suite (*).
III. Cependant il est toujours facile de trouver immédiatement l'équation qui donne la valeur des, au moyen de la seule expression
même quand X et Y deviennent nuls à la fois. On a vu (40) que , pour trouver la vraie valeur d'une quantité qui se présente sous
la forme de - ? on cherche à mettre un facteur commun en évio
dence an numérateur et au dénominateur. Soient donc .r et j les coordonnées du point de contact qui rendent z indéterminé : nous remplacerons x par x -\- hç\. y par y -\- k ^=. y -\- liz dans X et Y, et nous savons d'avance que le numérateur et le dénominateur deviendront ensuite divisibles par // ; nous supprimerons donc ce facteur autant de fois cju'il sera commun en haut et en bas. Après
( * ) I,es équations en z' et en r' reviennent à
d'f , dydx d-f
rfr* d\f dx*
dy-dx dy dx* dx'
On vdjl ronmionl se foi meraienl les ('i|nalioris sniv.mles
268 CHAl'lTRE SEPTIÈME.
cela, pour revenir au point de contact, nous ferons de nouveau /i := G, et il nous restera une équation en z d'un degré plus ou moins élevé.
AjH-ès qu'on a remplacé x par x -\- h et y par y -t- z/i, les expressions X et Y peuvent être regardées comme des fonctions de h, et représentées par <}» (A) et ^ {h), dont les dérivées par rapport à // seront 's/ [h] et ■^' [h], qui deviennent (^' [o) tty [o) <|uand on y fait h =: o : il faut donc poser
Si pourtant h était encore facteur commun dans v' {h) et dans 4/ ( /t) , on aurait
et ainsi de suite.
Cette méthode sera en défaut si z doit être infini, c'est-à-dire si la tangente est |jarallèle aux ordonnées. En effet, l'accroissement /• de l'ordonnée pourra encore être regardé comme nul , mais s'il se présente dans les quantités X ou Y, transformées comme on vient de le voir, un terme tel que hz^ = ^z, on voit que ce t«M'me sera indéterminé quand z sera infini.
Par conséquent, pour obtenir les tangentes parallèles à l'axe des j, et que cette méthode ne donnerait point dans le cas d'indétermination, remarquons que, si
hm-=cc,
on a nécessairement
hm y =r o.
Tout se réduit donc à répéter les calculs précédents après avoir changé/ en x et réciproquement, puis à voir si la nouvelle équation en z , dont les racines seront évidemment inverses de celles de la première, aura une racine nulle, ce qui donnera pour la tangente cherchée un coefficient angulaire égal à l'infini.
Toutes ces circonstances se présentent dans l'étude de la courbe
TiTVoniK DIS roi'UBKs pi.ANKs. 9.(iq
tlont ro(|ual;ion est
V — 3 axY + x^ =i o,
roiirbe bien connue sons le nom de Folium de Descnrtcs , parce • (u'elle présente l'apparence d'une feuille, et dont l'analyse se ironve dans la plupart des Traites de Géométrie analytique (*).
ce qui donne
aj — x^
r^ — or
Cherclions la tangente à l'origine, il reste
nous (levons donc changer x en.T -\- h et j en y -\- hz, mais ici
ainsi il faut changer .r en // et y en /iz, ce qui donne
a/iz — h- az — h
h"- z- — ah liz — a
Maintenant, faisons A :=: o; il vient
z = — z, ce qui donne
Ainsi l'axe desx est tangent à l'une des branches passant par l'origine qui est un point double.
Mais on peut croire que l'axe des y esl tangent à l'autre branche : c'est en effet ce qui a lieu, et il est facile de trouver cette autre tangente en changeant x en y, et réciproquement, pour avoir
l'équation dont les racines sont — Comme l'équation delà courbe
est symétrique en x et enj-, il n'y a pas de nouveaux calculs à faire
( *) Voir l'ouvrage de MM. Delisle et Gerono , n" 298.
270 i:HA1'ITRK SEPTIKMK.
et l'on trouve
- — 5 oi\ bien - :=o
et par suite
IV. Soient ]\] et M' {fg. 45) deux points infiniment voisins Fig. 45. d'une courbe dont l'équation en coor-
données polaires est
on appelant w l'angle que fait avec l'axe OT le rayon vecteur OM = p; "t"* " soit aussi Q l'angle que fait la tangente avec l'axe, il est clair que l'angle OMÏ = 9 — w. Du centre O et du rayon OM décrivons l'arc de cercle infiniment petit MN qui coupe OM' en N; l'angle M'OMsera l'accroissement r/w, l'arc MN = pr/w, et M'N = r/js sera de même l'accroissement infiniment petit du rayon vecteur.
Cela posé, MN pourra être regardé comme perpendiculaire à la fois sur OM et sur OM' ; le triangle MM' N sera donc rectangle en N, et comme l'angle NMO est aussi droit, on a
puisque ces deux angles sont tous deux compléments de M'MIS :
par conséquent
MN tany (9 — w) =
M' N ou bien
tang(9 — w j = '— — r/p
L'accroissement de surface MOM' devient, en négligeant l'infiniment pelit du second ordre MNM', le secteur MON; donc
ds =^ - p- tl oi.
V. On démontre en mécanique que, si une courbe plane est produite par le mouvement d'un point ou d'une ligne, on peut
