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et il restr
THÉORIE DES COURBES PLANES. 3 Kj
ce qui montre que OA est la tangente à l'origine. L'angle ô — w étant toujours, comme on le sait, l'angle que fait la tangente avec le rayon vecteur, on a
,tang(Ô — •>) = £-.
Il faut observer que la courbe ne part point brusquement du point O, parce que Ton doit aussi imaginer le mouvement opéré dans un autre sens, ce qui donne la courbe ponctuée.
II. Spirale logarithmique. — On appelle ainsi la courbe qui a pour équation
p = «**, ou bien &> = logp,
dans un système quelconque^*. 71 ). Cette équation montre que Fie 7 1 - l'origine est un point asymptotique dont la
courbe s'approche indéfiniment sans jamais le rencontrer, car p = o donne
/"p) / ï ,a construction par points est fondée sur ce
V / que V accroissement de l'arc est proportionnel à
celui du rayon vecteur, à partir d'un premier
point une fois construit; en effet
dp = « w . \a.dv = 1 a,pd&,
et il est clair que pcfw est l'accroissement de Tare.
Ensuite, l'angle — w de la tangente avec le rayon vecteur étant toujours donné par la formule
remarquons que
ce qui donne
tang(0 — o>) = p. — 7
dp p.ltf
tang(Ô — w) = — ;
par conséquent, la tangente fait un angle constant avec le rayon
vecteur y propriété très-importante et qui pourrait servir de définition géométrique à la courbe.
Nous énoncerons encore ce théorème remarquable, que la développée d'une spirale logarithmique n'est autre chose que cette même spirale qui a tourné d'un certain angle en gardant le même pôle.
Enfin la spirale logarithmique sera encore la projection sur la base d'un cône droit, d'une hélice conique tracée sur ce cône, c'est-à-dire d'une courbe à double courbure faisant le même angle avec toutes les génératrices du cône.
107. Nous allons étudier encore quelques courbes transcendantes qui se rencontrent assez fréquemment.
Développante du cercle (fig. 72). — On voit, d'après le nom Fig. 72. de cette ligne, que c'est la courbe ob-
tenue en déroulant un fil à partir d'un point donné sur une circonférence.
Pour obtenir celte courbe .par points, * nous supposerons la circonférence divisée en un certain nombre de parties égales, 1 2 par exemple, en prenant sur les tangentes correspondantes des longueurs égales aux portions de la circonférence.
Logarithmique [fig- 73). — On appelle ainsi la courbe qui a
Fig. 73.
pour équation
L'axe des y est asymptote du côté négatif, car x = o donne
jr= — GO.
On peut chercher le rayon de courbure au point À qui a pour coordonnées
y = O et x = 1 ;
pour cela , remarquons que Ton a , en général ,
-*' = J ~~ dx
ce qui , pour x = i , donne
Ainsi, la tangente en A fait un angle de 45 degrés avec l'axe des .r. Pour trouver la position C du centre* de courbure sur la normale, on pourrait facilement, comme on Ta vu (105, VI), transporter l'origine en A et changer la direction des axes suivant les bissectrices. Mais ici il est plus simple de se reporter à la formule générale
on a déjà trouvé
ce qui donne
(H-/ 2 ) 3 = - — -r 1 - \ ensuite y" = j9
et , par suite ,
Ici x = i \ ce qui donne
R 2 = a 3 = 8 et R = i y/â.
Soit donc
AB 5= OA = i ;
élevons jusqu'à la normale bissectrice la perpendiculaire BD = i , et prenons DC = AD, il est clair que AC = R. Le cercle oscillateur passe au-dessus de la branche AR et sous la branche AS.
Sinusoïde (fi g. 74)- — C'est la courbe dont l'équation est
Fi 0- 74* y =r sin.r.
y T On voit que
x = o donne y = o ,
r — OC = -
donne
r~CA = i,
et
.r = 7r = 0'0 donne de nouveau y = o.
322 CMAF1TBB SEPTIKHR.
Ensuite on a d'antres arceaux égaux à OAO', et qui sont alternativement placés au-dessus et au-dessous de OO'. t On trouve
-=y=co SJ r; donc, au point O,
ce qui montre que les tangentes en O, O 7 , . . . , qui sont des points d'inflexion , sont inclinées à 45 degrés : pour les construire, il suffit donc de prendre
