Considérons l'équation
dont les racines sont comprises, l'une entre o et — i, l'autre entre o et i, et enfin la troisième entre 2 et 3.
Cherchons la seconde racine pour laquelle a = o , A = 1 , ce
qui donne
/(«)=i et /(A) = -i, on trouve
/'(j?)=3.r a — 4* — 1 et /"(.r) = 6x — 4;
donc/" (.r) prenant des signes différents pour les limites qui comprennent la racine, on ne pourra pas compter sur la méthode de Newton, et il faut prendre avec M. Cauchy
i* = y(*)-ft'(A),
m = — 5, a t = 0,2 et A, = 0,8.
Ensuite
d'où l'on tire
a 2 = o,38 et A 2 = 0,66 y
ou trouver* de même
Une fois arrivé à ce point, on peut employer la méthode de Newton, si l'on étend cette expression à l'ensemble des deux premiers cas examinés dans le n° 18.
En effet, la quantité/" (x) = 6x — 4 devenant nulle pour
x ='— = o,6666. . . , on voit qu'elle ne change pas de signe
depuis 47 = 0,5 jusqu'à .r — 0,584- Comme/" (x) est négatif
pour ces deux valeurs , on se trouve dans le second cas , c'est-à -
dire que Ton devra poser
ce qui donnera
a k = o,554 et, A 4 = o,555.
En continuant ainsi, Ton trouvera
Cette méthode ne s'applique pas seulement aux équations ordinaires, c'est-à-dire aux polynômes, mais à des fonctions quelconques, même transcendantes. Ainsi, considérons encore l'équation
Il est clair qu'il n'y a pas de racine négative, car cette équation revient à x. 2* = 3o, et Ton voit que la substitution d'un nombre négatif quelconque donne pour x.i x un résultat négatif qui ne peut être égal à 3o ; de plus, il n'y aura qu'une seule racine positive, car a*. 2* croît indéfiniment à partir de x = o.
On reconnaît que cette racine est comprise entre a = 3, qui
donne
/(«) = 6 et A = 4,
pour lequel /(A) = — 34, ensuite
/'(*) = — a'(i -H*l2) et /"(.*):= — 2*1 2 (a 4- *i2),
APPROXIMATIONS SVOCB&S1VKS. 27
en indiquant par 1?. le logarithme népérien de 2, c'est-à-dire 0,69314718. On reconnaît facilement €\uef"(x) est toujours négatif, par conséquent,
On a
/'(4) = -6o,36i4, ce qui donne
a t = 3, 1 et A, = 3,4.
On calculera 2* par logarithmes, et Ton parviendra bientôt à la valeur
qui est suffisamment approchée, car
18. Frappé de l'incertitude qui accompagne la méthode de Newton, telle qu'elle avait été exposée jusqu'alors, Lagrange en avait imaginé une autre qui n'offre pas le même inconvénient et qui même permet, à chacune des approximations successives, de calculer la valeur et le sens de l'erreur. Seulement , comme cette méthode est fondée sur l'usage des fractions continues, nous devons rappeler ici leur nature et leurs propriétés..
On appelle fraction continue toute expression de la forme
<z,6,c,...,a,p,7..., étant des nombres entiers positifs ou né* gatifs; mais nous ne considérons que les fractions continues de la
forme
où les entiers a, b, r, . . . sont positifs, c'est-à-dire des expressions composées d'un entier plus l'unité, divisée elle-même par un entier plus l'unité, et ainsi de suite. Le premier, a, de ces nombres entiers, peut seul être nul.
On appelle fractions intégrantes les fractions T * - 9 - 9 • • • ?
et quotients incomplets les nombres b f c 9 d 9 ... ; on appelle quotient complet une quantité telle que
prolongée jusqu'à la fin de la fraction continue, qui peut être in* définie dans bien des circonstances, c'est-à-dire quand la valeur de cette fraction est incommensurable.
Enfin/ on appelle réduites les quantités
ai 1 1
-> tf-t-Tî «H H
qui s'arrêtent à chaque quotient incomplet.
Il est facile de réduire en fraction continue une fraction ordinaire telle que
d'abord
ensuite
«re qui donne
Ta
APPBOXIMATIOWS SUCGISSI VF9 . ag
et l'on obtient
. îb
On voit que cela revient au procédé du plus grand commun diviseur.
D'après Adrien Métius ,
Formation des réduites. — La première réduite est
la seconde
i flô + i
la troisième
On voit que jusqu'à présent le quotient incomplet correspondant à la réduite que Ton considère n'entre qu'au premier degré au numérateur et au dénominateur de cette réduite. Pour voir que celte propriété est générale , il suffit de prouver que, si elle est vraie pour une réduite
P __ Mp + N
P' — M'yU-N''
dont le quotient incomplet est p, elle est vraie aussi pour la réduite suivante dont le quotient incomplet est q. En effet,
q " x [ P + f/ ) + N (M/;-hW) 7 H- M P<g4-M
3o CHAPITRE DEUXIÈME.
mais de plus la réduite suivante --7 sera
et cette valeur
R Qr
démontre le théorème suivant :
Le numérateur d'une réduite s'obtient en multipliant le quotient incomplet qui lui correspond par le numérateur de la réduite précé- .dente et ajoutant le numérateur de la réduite qui précède de deux rangs. Le dénominateur se forme de même au moyen des dénominateurs de ces réduites.
Ainsi, dans l'exemple que nous avons pris, la première réduite est
la seconde
et la troisième, ayant pour quotient incomplet le nombre 16, a
pour valeur
ce qui donne la fraction elle-même.
Propriétés des réduites. — I. Dans la fraction continue
APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. 3l
p7 > ^7 > — - f étant les réduites qui s'arrêtent aux quotients incomplets/?, 9, r, on a vu que
R __ Qr-f-P
Mais soit
le quotient complet qui commence à r, il est clair que
x - Qr + P Q'r-hP''
ce qui donne
ou bien
On voit par là que x — ~ et <— — x sont de même signe; donc
la valeur de la fraction continue est comprise entre deux réduites consécutives.
