AC
s 2 +2BC 4- 2 AD
sM-C 2 -f-2AE + 2BD |
D'où Ton tire les équations
A 2 — i=o, 2AB— i=o, B 2 4-4AC = o, 2BC4- 2AD = o, C 2 -t-2AE-+- 2BD = o, etc.,
ce qui donne, eu prenant la valeur positive du radical,
et enfin
Cela ne suffit pas pour reconnaître la loi que suivent les coefficients; mais si s est très-petit, on retrouve la relation
Jl+6 = 1+-
On y serait arrivé directement en posant* simplement
^i -H e = A -f- Bs.
. Nous allons encore montrer la fécondité de cette méthode en cherchant les développements du sinus et du cosinus, dont nous avons déjà fait usage ; mais nous devons prévenir que ce procédé, remarquable pour sa simplicité, est insuffisant comme démonstration rigoureuse.
Soit
sinx=: A-f-Ba; -+-Gx 2 -t- D ** -h E .»* -f- Fa? 4 +. . .y. il vient, en différen liant,
çosa; = B+ 2C*+ 3Da? 2 -f- 4E* 3 ■+• 5F* 1 -*-. . .*
et diftércntiant une seconde fois,
— sinx = 2C+2.3D.r-f 3.4 ?* 7 H- 4-5Fj: 3 -f-
Les deux développements du sinus devant être identiques, on a' les égalités
Or, si
.r = o , sin x =. o , donc aussi
A = o, . si x =r o, cos.r = i, donc
D=i; d'où l'on tire
et Ton a les séries
sin x — x -f-
j?» jf*
cos x = i — -f-
9. Nous avons dit que cette méthode, si précieuse dans une foule de recherches, n'est pas d'une exactitude absolue : en effet, il n'est pas tout à fait évident qu'une fonction quelconque puisse se développer suivant les puissances de la variable dont elle dépend , et il y a même certaines fonctions particulières pour le»quelles ce développement est impossible. Telle est la fonction
y = log.r;
car x =; donne
jr = — 00 ,
et Ton est obligé d'éluder la difficulté en développant log (x -h 1). Mais nous devons surtout, au point de vue des calculs pratiques, nous préoccuper d'une autre espèce de difficulté qui se présente bien plus souvent et qui consiste dans la divergence des séries. Quand les termes vont en croissant, il est évidemment impossible que leur somme converge vers une quantité finie ; c'est
NOTIONS GENERALES. I I
ce qui arrive, par exemple, dans les progressions géométriques dont la raison est plus grande que l'unité. Mais quand même les termes vont en diminuant , de manière que le terme de rang n devienne infiniment petit pour 72 = 00, cette condition ne su Ait pas toujours pour établir la convergence.
Une série dont tous les termes sont de même signe est convergente quand le rapport d'un terme au terme qui le précède tend vers une limite plus petite que l'unité»
En effet , soit h une quantité plus grande que le rapport d'un terme.quelconque à celui qui le précède, on peut néanmoins supposer /fr<i. Or la somme des termes ,' depuis le premier jusqu'au /?4- \ ième étant
on aura la suite d'inégalités
Multipliant ces inégalités, il reste
et comme £<0, on sait que k n devient plus petit que toute grandeur donnée quand n augmente indéfiniment. Il en sera donc de même pour w„. Cela tient à ce que les puissances d'une quantité plus grande que l'unité croissent indéfiniment. En effet,.
(l + a) 3 >(i + 2a) (i + «)>l + 3aj
et ainsi de suite. Donc
qui peut croître indéfiniment pour une valeur suffisante de/*. Par
conséquent, K n =5 -» décroît indéfiniment.
12 CHAP1TEE PREMIER.
On aura ensuite, en ajoutant,
d'où
S(i — X)< tt0 — U a et s<"*"" Xl1 "
Mais, comme nous venons de le voir, u n devient infiniment petit à mesure que n augmente, et i! reste
On voit que ce raisonnement ne pourrait s'appliquer si A était égal à l'unité.
Du reste, il faut bien observer que cette valeur S, quand elle est
finie pour £ < i , donne bien une quantité — 9 —z supérieure à
la somme indéfinie des termes de la série, ce qui prouve que cette série est convergente; mais il ne faudrait pas croire que cette valeur — ^-j fût la limite vers laquelle converge cette suite de termes. C'est pourtant ce qui a lieu pour les progressions géométriques dont la raison est plus petite que l'unité, k étant cette raison - r mais il n'en est pas toujours ainsi, puisque, du reste, k n'est point complètement déterminé.
Nous devons donc conclure que la série est divergente si k^> i , puisque les termes vont en augmentant et qu'elle est convergente si k < i ; mais si k = i , on reste dans l'indécision, et, en effet, les séries de cette nature sont tantôt divergentes, tantôt convergentes.
Ainsi la série
quoique ses termes aillent constamment en diminuant, est divergente, c'est-à-dire que la somme de ses termes n'a point de limite finie. Mais la série
(ïMiMiMi)'
NOTIONS GÉNÉRALES. 1 3
dans laquelle on a aussi k=i> converge vers une limite finie (*).
10. Nous avons considéré des séries dont tous les termes étaient .de même signe; souvent aussi les termes sont alternativement positifs et négatifs, et d'ordinaire le calcul de l'approximation en devient pins facile. Tels sont les développements du sinus et du cosinus en fonction de Tare.
Quand une série est composée de termes constamment décroissants et alternativement positifs et négatifs, cette série est convergente; r erreur est inférieure au premier terme que l'on néglige et de même signe que ce terme.
En effet, considérons la suite de termes
En s'arrêtant après trois termes, on peut poser la série sous la forme
c'est-à-dire que les termes conservés a — i + c seront suivis d'une quantité négative, car toutes les quantités négligées — (d~~ e), — (f — g) 9 . . . sont effectivement négatives, puisque les termes vont toujours en diminuant. Ainsi la valeur a — b -f- c sera approchée en excès.
Prenons maintenant un terme de plus, la série deviendra
et ici les quantités négligées e — f 9 g — /*,.. seront évidemment positives. Donc la valeur a — b -f- c — d sera approchée par défaut. Or la différence de ces deux sommes est — d; on voit donc que, dans la première circonstance, Terreur était numériquement inférieure à d, mais du même signe que — d , c'est-à-dire négative.
^»l ■ 1 T.^^ l M J ■! — ■ I ■- ■ ~ ' Il II 1 ^ ■— m m
( * ) On démontre aussi la condition de convergence yju m < i .
Prenons encore pour exemple l'équation
.r* -h iooj: — i = o,
et remarquons que Tune de ses racines diffère très-peu de >
car, par x = * le premier membre se réduit à > qui
diffère peu de zéro. Nous pouvons donc, en modifiant un peu la méthode pour simplifier le calcul , remplacer x par o ,01 , seulement dans le carré x % % ce qui donne
0,OOOI -+- IOOJF = I,
et Ton a pour seconde valeur
x = o,oi — 0,000001 =0,009999;
mais la première valeur x-=. 0,01 était déjà suffisamment exacte. On trouvera l'autre racine en observant que la somme des deux racines est égale à — 100.
12. Une question qui se présente souvent consiste à calculer les racines d'une équation du second degré quand le coefficient de x % est très-petit.
Soit donc a très>petit dans l'équation
ax 1 -H bx -f- c = o ; on en conclut
c ax 7 o b
ce qui donnerait
pour première valeur de l'inconnue, si a était tout à fait nul. Transportons donc cette valeur dans le second membre; on trouve pour seconde valeur '
c ac l
L'autre racine se calculera encore en retranchant cette pre-
nucre racine de •
Cette méthode, déjà employée clans l'exemple précéaent, conduit à des calculs très- simples; maïs comme on substitue la première valeur de l'inconnue dans le carré de.r et non dans la simple puissance, on pourrait craindre qu'elle ne fût pas suffisamment exacte : il est donc utile de la contrôler par les procédés déjà connus (*).
On sait que
— ézfcv 7 * 2 — 4<w
ou bien
(V**— 4<rc— b) {\lb* — /iac+<b) x s= * . y
ia{yb* -T- t±ac -+- b)
en prenant seulement le signe positif du radical.
En réduisant, on a
jn
\jb* — 4 oe -+- b
(*) Le calcul qui va suivre fait seulement voir que cette méthode est exacte dans les mêmes limites que celle vie Newton, qui n'en diffère pas essentiellement et que nous développerons bientôt ; mais il se présente des circonstances où elle tombe en défaut , c'est-à-dire que les valeurs successives ne s'approchent point de la racine. C'est ce qui arrive pour les équations
— rx'-i-iojc — io* = o et — = *••+- 10 x— io* c= o
I0 f JO*
que nous a communiquées M. Harant. Selon M. Gerono, cette méthode n'est applicable que si ac est très-petit par rapport à b*. En effet, dans l'expression
c ac* c f ac\
ac
il faut que =■ < i pour que la correction soit plus petite que la première valeur.
l8 CHAPITftK DEUXIÈME.
On évaluera ^b* — ^ac par la formule connue
qui donne
d'où Ton tire
fr — ac
Pour identifier cette valeur avec celle qne nous avons déjà trouvée, il faut diviser bc par b 2 — ac, ce qui donne, en ne conservant que les deux premiers termes du quotient, et supprimant ceux qui contiennent a* et les puissances supérieures, la valeur
c ac 1
que tfous avions obtenue d'une autre manière. . Du reste, on arrivera au même résultat en posant
y étant très-petit, on négligera y 7 , et il reste
ac % 7.acy ,
mais ay est négligeable, puisque a est aussi très-petit, ce qui
donne
ac*
comme ci-dessus.
Les extractions successives de racines carrées de la forme
\j a -f. \J'b peuvent quelquefois se ramener à des extractions simples. Soit
élevant au carré, on trouve
Égalant de part et d'autre la partie rationnelle et la partie irrationnelle, il vient
« + p = rt et «P = y*,
donc a et p sont les racines de l'équation
x* — fl,r + 7 ~ o,
qui donne
m = - ± - \Ia 2 — b.
La transformation n'est donc utile que si a 7 — b =«* est «n carré parfait; alors
. / a rr . / a "*-* x /<* — c
Par exemple
15. Les approximations successives s'obtiennent d'ordinaire par la méthode de Newton , qui est fondée sur le développement des fonctions en série.
le théorème de Taylor donne
/(a + h) =/(„) +/' (,) . i +/*(«) • JL
les coefficients de h sont les dérivées successives de f(x) 9 où x est remplacé par /i.
Soit donc y=zf(x) une fonction quelconque, et supposons que a soit une valeur de x assez approchée d'une racine de l'équation /(x) = o, h étant la quantité qu'il faut ajouter à a pour avoir cette racine. Gela revient à supposer
30 CHAPITAK DKOX1EME.
d'où, il résulte
Comme A est suffisamment peut , on posera, du moins pour une première approximation ,
ce qui donne
On obtiendra ainsi une valeur de la racine, généralement plus approchée que la première. Soit donc
on substituera cette valeur a t9 comme on a fait pour a> te qui donnera pour seconde approximation
et ainsi de suite. C'est en cela que consiste la méthode de Newton.
Prenons comme exemple l'équation
70^ — iijo.r 3 -f- 90 x* — 2G.r -f- 1 = o,
et cherchons celle des racines qui est comprise entre 0,06 et 0,07. La première de ces valeurs étant substituée dans le polynôme donne
et la seconde
/(o,o7) = — o,oo53393.
La seconde valeur étant évidemment plus approchée que la première, nous poserons a = 0,07 et en la substituant aussi dans/ 7 (x), on aura
. o,oo533q3 «
h =r 7 — —=: -— o,OOo5o.
On trouve ainsi
<ï, =r o,o6g4 2 7 ensuite
ce qui donne
jûr 2 = 0,069431845.
14. On peut croire d'abord que l'approximation croît rapidement quand on emploie cette méthode : en effet, supposons, pour fixer les idées, que h soit plus petit qu'un centième, comme dans l'exemple précédent, le carré h* qu'on négligera dans la première approximation sera plus petit qu'un dix-millième, et il semble qu'une approximation doive toujours s'exprimer ainsi par le carré de la précédente. C'est ce qui a lieu quelquefois, et le calcul précédent en offre un exemple, comme on pourrait s'en assurer; mais le coefficient qui multiplie A 2 , et les termes qui le suivent , ne permettent pas toujours que l'approximation soit aussi considérable.
Quelquefois même l'importance des termes que l'on néglige va au point de donner des eorrecrions qui éloignent de la racine au lieu d'eu rapprocher : ainsi, une racine étant comprise entre deux limites, il peut se faire que la méthode de Newton donne une valeur qui ne soit pas comprise entre ces limites; dans ce cas la correction devient évidemment illusoire.
Il faut donc, en général, vérifier chaque approximation aprè* l'avoir obtenue, c'est-à-dire reconnaître par des substitutions convenables si la racine est comprise dans les nouvelles limites, que l'on a déterminées : ce qui altère beaucoup la simplicité de la méthode ; mais l'habitude du calcul peut faire éviter ces substitutions en dirigeant convenablement les approximations, et observant que les corrections sont, tantôt positives, tantôt négatives.
i&. Cependant comme la méthode de Newton tombe quelquefois en défaut dl manière que le calculateur ne puisse en faire usage qu'avec de longs tâtonnements, il est important de la perfectionner de telle façon , que, sans rien. perdre de la simplicité, elle:
donne une approximation certaine, et que l'on parvienne même ù resserrer la racine entre deux valeurs, Tune supérieure et toujours décroissante , l'autre inférieure et toujours croissante. Cette question a longtemps exercé les mathématiciens , mais on peut la résoudre complètement en combinant les travaux de Fourier avec ceux de M. Cauchy.
Nous supposerons d'abord que la séparation des racines a été obtenue, soit par le théorème de Sturm, soit par tout autre moyen (*). Ainsi, l'équation donnée f(x) = o n'a qu'une racine comprise entre a et À.
- De plus, nous pouvons supposer que cette racine est positive, ear cela revient à changer, s'il le faut, x en — x, c'est-à-dire à changer le sens des abscisses dans la courbe dont l'équation est /*{*).
Nous pourrons alors supposer a o , car rien n'empêche de
commencer les substitutions par x=o; à plus forte raison ^ A sera positif.
Enfin, nous pouvons aussi imaginer que /(a) est positif: cela revient, s'il y a lieu, à changer le signe de tous les termes de /(*), ou bien le sens des ordonnées dans la courbe dont nous avons parlé. Ces hypothèses sont faites pour fixer les idées; 6Î la question n'y rentrait pas, il serait facile de l'y ramener.
Cela posé , décomposons la fonction et ses deux premières dérivées chacune en deux groupes, l'un positif, l'autre négatif: nous aurons donc
(*} Nou&nippelleroDS ici l'énoncé de ee théorème. Soient X on polynôme ordonné suivant les puissances de x f et X' sa dérivée; cherchons le plus grand commun diviseur entre X et X', et changeons le signe de chaque reste. Soient X t , X^, X,, . . ., X r , ces restes ainsi changés de signe, le dernier X r
étant numérique , puisque X = o n'a pas de moines égales. Si l'on substituedans la série X , X', X, , X, , . . . , X r deux nombres a et A, ^A > a), le nombre de racines de X = o comprises entre a et A est égal à l'excès du nombre de variations obtenues pour a sur le nombre de variations obtenues. pour A.
Maintenant substituons alternativement a et À dans la partie positive et dans la partie négative de/"(x), ce qui donnera les deux résultats
>"(*)— {/'(A) et r(À)-fi"(*):
il pourra se présenter trois cas différents : i°. Ces résultats sont tous deux positifs.
Prenez alors a x = a — "l,. , et À, = A — „, \ : la racine
sera comprise entre «, et A,, car il faut observer que f [a) et /(A) sont de signes contraires, puisque a et A ne contiennent qu'une racine de l'équation.
Qn posera, pour seconde approximation,
La racine sera donc resserrée, comme noijs l'avons djt, entre deux valeurs, Tune supérieure et toujours décroissante, l'autre inférieure et toujours croissante.
2°. Les résultats sont tous deux négatifs.
Prenez
La seconde approximation donnera de même
a ' ~ a> ~ /W Aî - A, ~/'(À7f
et ainsi de suite.
(*) Siy(x) est un polynôme, les termes positifs et négatifs de /'(*) et de /"" (a) seront les dérivées successives des termes correspondants def(x), comme nous l'indiquons ici; mais pour beaucoup de fonctions transcendantes et même algébriques, il pourrait ne plus en être de même. Du reste cela ne changerait rien aux résultats que nous allons énoncer.
24 CHAMTAE deuxième.
3°. Les résultats sont de signes différents.
Il faut alors substituer a dans le groupe positif de/' (x), et À dans le groupe négatif, ce qui donne
. m = V(a) — ft'(A),
quantité qui sera toujours négative , d'après les hypothèses que nous avons faites. Nous aurons alors
de même •
en posant
et ainsi de suite ( *).
16. Ce procédé , qui convient au cas où la méthode de Newton est complètement en défaut , a été indiqué depuis longtemps par M. Cauchy ; on peut s'étonner qu'il ne soit pas plus répandu et qu'aucun ouvrage élémentaire n'en fasse mention. Il est général , c'est-à-dire qu'il s'étend à. tous les cas possibles; mais il est d'ordinaire moins avantageux que les autres procédés, quand ceux-ci sont applicables.
En effet y si le premier cas se présente et qu'on puisse employer
la formule a, = a — j7j\i il faut que f (a) = V (a ) — p! (a)
soit négatif, ainsi que m = V (a) — p* ( A). Mais il est' clair que m est numériquement plus grand que/' (a), puisque le groupe négatif p'( A) est plus considérable que f*'(«), en supposant que p'(x) augmente avec x : donc le plus grand dénominateur donnant la plus petite fraction , on voit que la correction — „}, \
sera plus avantageuse que — ■ •
( * ) Pour la démonstration de cette théorie , voir les Nouvelles Annales de MJMU Terquem- et Gerouo, tome XV, pages 244 et Sl *iv. (Juillet i856.)
De même, dans le second cas, si l'on compare les deux valeurs négatives /'(A) = V(A) — p'(A) et m = V (a) — p'(A), U seconde sera numériquement plus grande que la première, parce que la partie positive V {a) est plus petite que)/ (A), en admettant encore que a (.r) augmente avec x.
La correction de M. Cauchy, a t = a -, approche de la
plus petite racine comprise entre a et A; elle peut donc servir même quand les racines ne sont pas séparées. On aura pour seconde correction
- — "'-*•(«.) -f»'(A)* et ainsi de suite.
Il sera facile de transformer la méthode de manière à revenir de A à a pour se rapprocher de la plus grande racine comprise dans cet intervalle.
